§3. Существование оптимальных управлений

В вопросе существования оптимального управления важную роль играет ограниченность множества U. Покажем это на примере.

Пример 2.1. Рассмотрим задачу на быстродействие в с одним управляющим параметром:

x(0) = x⁰, x(T) = 0;

T  min.

Рассмотрим два случая относительно множества U.

1. U  R¹ (т.е. U – неограниченное множество).

Для произвольного числа T > 0 построим функцию :

Очевидно, для любого t u(t)U, т.е. является допустимым управлением, причем это есть непрерывная на [0,T] функция.

Подставляя это управление в уравнение движения и применяя формулу (2.8), вычислим соответствующую траекторию :

Видно, что при t = T x(T) = 0 при любом начальном состоянии x⁰, т.е. решает задачу управления (приводит систему в начало координат за некоторое время T). С другой стороны, какое бы малое число T > 0 мы ни взяли, управление остается допустимым, а траектория к этому моменту приходит в начало координат. Таким образом, оптимального управления не существует (против любого управления, приводящего систему в начало координат, можно найти еще лучшее в смысле минимизации времени T). Здесь G  R¹.

2. U = [–1,1] (т.е. U – ограниченное множество).

Для любого допустимого управления такого, что , и произвольного T > 0, применяя формулу (2.10), имеем:

Справедлива оценка:

Следовательно, равенство (2.10) справедливо только для тех начальных состояний x⁰, для которых . В этом случае область 0-управляемости есть . После изучения методов вычисления можно убедиться, что в этой области задача быстрейшего попадания в начало координат имеет единственное решение (задача управления имеет бесконечное множество решений).

В терминах области управляемости в автономной задаче на быстродействие справедлива следующая теорема существования.

Теорема 2.4. Пусть в задаче на быстродействие в автономной системе (2.7) множество U компактно в . Тогда для любой точки существует, и притом единственное, оптимальное управление.

Следующее утверждение является следствием теорем 2.3 и 2.4.

Следствие. Пусть в автономной системе (2.7) U компактно в , , матрица A устойчива (или выполнено условие общности положения (2.9)). Тогда для любого существует единственное оптимальное по быстродействию в начало координат управление.

Докажем более общую теорему существования для неавтономной системы.

Теорема 2.5. Пусть в неавтономной линейной задаче оптимального управления (2.1)-(2.5) выполнены следующие условия:

1. множество U компактно в R^m;

2. целевое множество M(t) компактно и непрерывно меняется на [0,T];

3. задача управления разрешима, т.е. существует управление , переводящее систему из состояния x⁰ в M(T).

Тогда в задаче (2.1)-(2.5) существует оптимальное по быстродействию (измеримое) управление : ,

Доказательство. Случай является тривиальным, т.е. в этом случае . Поэтому предполагаем . Обозначим

.

В силу непрерывности M(t) и K(t) (см. теорему 2.1) и разрешимости задачи управления момент T* существует. По определению это есть минимальное время достижения целевого множества M(t) из начальной точки . Заметим, что либо такой момент единственен, если множества K(t) и M(t) строго выпуклы, либо их множество замкнуто в Rⁿ. Точку касания множеств K(T*) и M(T*) обозначим x* (см. рис. 2.3). По определению множества достижимости K(T*) существует допустимая траектория такая, что . Порождающее эту траекторию допустимое управление и является оптимальным по быстродействию, ибо оно приводит систему в целевое множество за минимальное время Теорема доказана.