§2. Области достижимости и управляемости

Определение 2.1. Совокупность всех точек пространства Rⁿ, в каждую из которых может быть приведена система (2.1) из начального состояния (2.2) в момент времени T с помощью допустимого управления , называется множеством достижимости и обозначается K(T) = K(0, x⁰, T) =  =  .

Другими словами, K(T) – это множество концов всех допустимых траекторий системы (2.1)-(2.2). Будем полагать для удобства K(0) = x⁰. Геометрия множества достижимости не зависит от начальной точки.

Теорема 2.1. Пусть в задаче (2.1)-(2.5) множество U – выпуклый компакт. Тогда множество достижимости K(T) является компактным, выпуклым и непрерывно зависит от T  0.

(Заметим, что выпуклость U нужна только для доказательства выпуклости K(T)).

Доказательство. Сначала докажем компактность K(T) в Rⁿ. Для этого покажем, что из любой последовательности точек в K(T) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой (предельной) точке . Пусть и ( ) – траектория и управление, приводящие систему в точку ( ):

.

Из компактности следует существование в каждый момент подпоследовательности , сходящейся к некоторому пределу , так что

.

Пусть – траектория, порожденная допустимым управлением . Тогда

и, следовательно,

.

Компактность K(T) доказана.

Пусть , а и – приводящие систему в эти точки процессы. Для любого управление является допустимым, что следует из выпуклости U. Управление порождает траекторию , которая в любой момент удовлетворяет условию

.

Отсюда , так как траектория порождена допустимым управлением . Ввиду произвольности , , выпуклость K(T) доказана.

Перейдем к доказательству непрерывности K(T). Пусть – компактные множества. Для произвольной точки полагаем

,

где – евклидово расстояние. Далее полагаем

.

Точно так же,

.

Под расстоянием между двумя множествами A и B будем понимать число .

Для доказательства непрерывности отображения мы должны показать, что для любого найдется такое , что , как только , где , , .

Начнем с частного случая, положив , т.е. покажем справедливость неравенства , как только . Для любого и произвольной точки

.

Поэтому

.

Матрицы и , как непрерывные функции на отрезке , являются ограниченными, и также ограничены, интеграл является непрерывной функцией переменного верхнего предела, поэтому для заданного и достаточно малого справедливы оценки

, .

Таким образом, для верно неравенство

и поэтому

.

Аналогично можно показать, что , как только для . Последнее предлагается выполнить читателю самостоятельно в качестве упражнения. Теорема доказана.

Множество достижимости обладает следующими свойствами:

1. для компактных U и U ⁰, таких что и , соответствующие им множества достижимости и компактны, выпуклы и равны между собой (здесь – выпуклая оболочка U);

2. если U – граница U, то (где – множество достижимости, соответствующее множеству U); если – множество вершин выпуклого многогранника U, то .

Далее рассмотрим линейную систему (2.7), когда целью управления является начало координат.

Допустим, что управление реализует цель управления (решает задачу управления), т.е. для некоторого Поэтому задача управления сводится к нахождению такого числа T > 0 и управления uU, чтобы

(2.10)

(см. (2.8)). Данное уравнение разрешимо (относительно T и ), вообще говоря, не для всех точек x⁰. Поэтому важно изучить множество тех начальных состояний системы, для которых это уравнение разрешимо.

Определение 2.2. Множество тех точек в Rⁿ, из которых система (2.7) может быть переведена в начало координат за конечный промежуток времени с помощью допустимых управлений , называется областью 0-управляемости.

Область 0-управляемости для фиксированного времени T обозначим G_T.

Теорема 2.2. Пусть при любом фиксированном T > 0 область G_T  . Тогда она является ограниченным, замкнутым, выпуклым множеством в Rⁿ. Причем начало координат является внутренней точкой G_T и, если T < T', то G_T  int G_T '.

Из теоремы 2.2 следует, что с ростом T область G_T расширяется (рис. 2.2). Поэтому представляет интерес объединение всех областей 0-управляемости:

которое называется областью управляемости для системы (2.7) и представляет собой открытое выпуклое множество в Rⁿ. Из начального состояния, не принадлежащего множеству G, объект (2.7) нельзя перевести в начало координат никаким допустимым управлением. Другими словами, уравнение (2.10) разрешимо (относительно T и ) тогда и только тогда, когда x⁰G.

Эффективных методов построения области управляемости нет. Однако можно указать условие, когда G совпадает со всем фазовым пространством Rⁿ.

Теорема 2.3. Если в (2.7) 0 int U и все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, т.е. матрица А устойчива, то G  Rⁿ.

В случае G  Rⁿ говорят, что система (2.7) вполне управляема. Тогда для любой пары точек x⁰ и x¹ из Rⁿ существует допустимое управление , которое за некоторое время T переводит систему (2.7) из x⁰ в x¹ (в частности, x ¹ = 0).

Перечислим некоторые свойства области управляемости (рис. 2.2):

a) из любой внутренней точки множества G_T в начало координат можно попасть за время, строго меньшее T, а из любой граничной точки множества G_T – за время, в точности равное T, и нельзя попасть быстрее;

b) если 0 int U, система (2.7) будет вполне управляемой тогда и только тогда, когда выполнено условие общности положения (2.9).