Раздел 2. Линейные задачи оптимального управления

Раздел 2. Линейные задачи оптимального управления

§1. Постановка задачи

Линейная неавтономная задача оптимального управления ставится следующим образом:

(2.1)

x(0) = x⁰; (2.2)

u(t)U  R^m, 0  t  T; (2.3)

x(T)M(T); (2.4)

T  min. (2.5)

М атрицы A(t) – размерности n  n, B(t) – размерности n  m, меняются с течением времени. В общем случае будем предполагать, что они измеримы на всей оси времени. Целью управления является терминальное (подвижное) множество (рис. 2.1). Задачу (2.1)-(2.5) будем рассматривать в классе измеримых по Лебегу на и удовлетворяющих условию (2.3) управлений U. Тогда решение системы (2.1)-(2.2), определяемое по формуле

(2.6)

представляет собой абсолютно непрерывную на [0,T] функцию (вектор-функцию), где Ф(t) – фундаментальная матрица решений однородной системы и Ф(0) = E (единичная матрица).

Если система (2.1) автономна, т.е.

(2.7)

то в (2.6) и решение имеет вид

(2.8)

Задача оптимального управления формулируется следующим образом: выбрать измеримое на [0,T] управление, удовлетворяющее ограничениям (2.3) так, чтобы соответствующая траектория системы (2.1) переводила систему из начального состояния (2.2) в терминальное множество (2.4) за кратчайшее время.

Следовательно, мы изучаем линейную задачу управления на быстродействие, где или, для соответствующей траектории , – это время (первый момент) достижения множества при движении вдоль траектории .

В общем случае вместо критерия (2.5) рассматривается интегрально-терминальный функционал, который оценивает качество управления на выбранном промежутке времени.

Если вместо терминального множества (2.4) рассматривается начало координат, т.е. целью управления является состояние равновесия неуправляемой системы , то мы получаем задачу быстрейшего прихода в начало координат. Для того, чтобы система оставалась в состоянии равновесия, попав в начало координат, нужно "выключить" управление: u(T) = 0. Это возможно, когда 0 является допустимым значением управления, т.е. 0U (точнее, 0 является внутренней точкой U).

Наиболее важным для приложений является случай, когда U является выпуклым многогранником в R^m, в частности, параллелепипедом:

_i  u_i  _i, i = 1,..., m.

В автономных системах управления, где U является многогранником, иногда предполагается выполненным условие: ранг (n  nm)-матрицы

rank[B, AB, A²B, ..., A^n–1B] = n.

Это условие слабее часто применяемого условия общности положения: для любого вектора vR^m, параллельного произвольному ребру многогранника U, векторы

Bv, ABv, A²Bv, ..., A^n–1Bv (2.9)

линейно независимы в пространстве Rⁿ, т.е. определитель n-го порядка, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля. Так как многогранник U имеет конечное число (s) ребер, то проверка этих условий осуществляется конечным числом операций: достаточно вычислить s определителей указанного типа (т.е. взять векторы v¹, ..., v ^s, параллельные всем s ребрам U) и убедиться в том, что все они отличны от нуля. Это условие на практике почти всегда выполнено. В некоторых книгах его называют условием нормальности.