Частина друга

2.1. 4 2 x− x = 5 2

3

3 x− x або

4 2

x − x = 5

2

x− x

:5

2

3

3

3 x− x ≠ 0 ;

(

)

4 2

2

3

−5

3

x

x

x

x

−

−

−

= 0 ;

2

4 x −3 x

= 1 ;

2

x − x

1

4 2 3 −

= ;

53 x− x

2

0

x −3

5

x

4 2

x − x ⋅5 2

3

x −3 x = 1 ;

2

2

x −3 x

x −3 x

2

4

⋅5

− 1 =

x −3 x

0 ;

20

= 1 ;

2

5 x −3 x

x 2 − x

3 = 0 ;

20 2

x −3 x −1 = 0 ;

x = 0, x = 3 .

1

2

20 2

x −3 x = 1 ;

x 2 − x

3 = 0 ;

x( x − 3) = 0 ;

x = 0 , x = 3 .

1

2

Відповідь. x = 0, x = 3 .

1

2

26  Варіант6

2.2. Кількість варіантів випадання двох очок — 1, трьох очок — 2, чотирьох — 3. Разом — 6.

6

1

Кількість різних варіантів підкидання двох кубиків: 62 = 36 . Отже, P( A) =

=

.

36

6

1

Відповідь.

.

6

2.3. ОДЗ: x +1 0 ; x  −1 .

3 11 − x +1 = 2 ; 11 − x +1 = 8 ; x +1 = 3 ; x +1 = 9 ; x = 8 .

Відповідь. x = 8 .

S

2.4. Оскільки піраміда правильна, то AS = BS = CS = DS = 4 2 , а осно-

ва висоти є точкою перетину діагоналей квадрата ABCD.

∠ SAO =

°

45 .

 SOA — прямокутний і рівнобедрений з гіпотенузою AS = 4 2 см ⇒ AO = OS = 4 B

⇒ AO = OS = 4 см.

C

 AOB — прямокутний і рівнобедрений з катетами

Н

О

AO = OB = 4 ⇒ AB = 4 2 см.

A

D

 ASB — рівносторонній зі стороною 4 2 см.

a 3

4 2 ⋅ 3

Шукана апофема — це висота SH  ASB =

=

= 2 6 (см).

2

2

Відповідь. 2 6 см.

Частина третя

1 − 1 + 2

2

sin α + 2sinα cosα

2sinα(sinα + cosα)

sinα

3.1.

=

tgα

1 + 2

2

cos α − 1 + 2sinα cosα

2ccosα(sinα + cosα) =

=

, що й треба було довести.

cosα

3.2. Нехай перше число x, друге — x + 36 ; розглянемо функцію f ( x) = x 2 + x 36 та знайдемо її мі-

німум. f ′( x) = x

2 + 36 , 2 x + 36 = 0 , тоді x = −18 f′( х)

–

+

, x

= −18 .

f( х)

min

–18

х

Відповідь. –18, 18.

3.3. Маємо похилий паралелепіпед ABCDA B C D ,

1

1 1

1

B

C

опустимо висоту A H , проведемо A K ⊥ AD ,

1

1

1

1

A K ⊥ AB . Нехай бічне ребро AA = a . Трикут-

1

1

1

ники A AK і A AK рівні за гіпотенузою і го-

1

1

1

A

стрим кутом ( AA спільна, ∠ A AK = ∠ A AK

60

1

D

1

1

1 =

°

1

1

3

за умовою). Тоді A K = A K = a sin60° = a

.

1

1

1

2

a

AK = AK

. Фігура AK HK є квадратом, тоді

1 = 2

1

B

a 2

C

AH = AK 2 =

.

2

H

K

a 2

1

AH

A

K

D

cos A AH

2

2

=

=

=

, ∠ A AH 45 .

1

=

°

1

AA

a

2

1

Відповідь. 45° .

Варіант6  27

Частина четверта

у

4.1М. При x < −5 f ( x) = x 2 + x − x −

= x 2 + x −

= ( x + )2

5

3

15

2

15

1 −16 .

При x  − 5 f( x) = x 2 + x + x +

= x 2 + x +

= ( x + )2

5

3

15

8

15

4 −1 .

Графіком функції y = a є горизонтальна пряма. При a < −1 гра-

фіки не перетнуться, при a = −1 будуть мати єдину спільну точ-

ку, при a > −1 графіки матимуть дві точки перетину.

Відповідь. При a < −1 жодної точки перетину; при a = −1 — одна

точка; при a > −1 — дві точки.

–4

–5

0

х

–1

у

2

2

 +

+ >

2

2

 +

> −

4.2

2 0,

2,

М. ОДЗ: x

y



x

y

x



 + y > 0;

y

 > − x.

x 2 + y 2 +  x 2 + y 2

2

+ xy

2

, xy 1 .

y = − x

Якщо x > 0 , то y  1 .

x

y = 1

1

x

Якщо x < 0 , то y  1 .

x

1

х

Отже, шукана область розташована вище

прямої y = − x і всередині правої вітки

y = 1

x

гіперболи y = 1 .

x

Графік побудовано.

4 x

x

2

2⋅2

4

4.3М. f′( x) =

=

; f ′(2) =

=

; f (2) = 8 +1 = 3 .

у

2

x

2 2 + 1

x

2 2 + 1

3

3

1

Рівняння дотичної:

3

1

1

1

y − 3 = 1 ( x − 2) , y = 1 x +

3

3

3

х

x

0

− 1

− 1

4

4

y

1

0

3

1

Маємо прямокутний трикутник з катетами

і − 1 .

3

4

1 1 1

1

S =

⋅ ⋅ =

(од2).

2 3 4

24

1

Відповідь.

.

24

28 Варіант 7

4.4М. ABCDS — правильна чотирикутна піраміда, в основі якої

S

лежить квадрат ABCD зі стороною AB = a . Двогранний кут

при ребрі основи — це кут, який утворює апофема SH із

площиною основи; за умовою ∠ SHO = α . Розглянемо пере­

різ піраміди, який проходить через апофеми SH і SK проти­

M

лежних граней. Перерізом буде рівнобедрений трикут­

ник KSH, у який вписано прямокутник NMM N , що є діа­

B

C

1

1

a

гональним перерізом куба. NM = MM 2 , KH = a , OH =

.

1

2

a tg α

NM

OS = OH ⋅tgα =

, OM

.

1 =

2

2

K

O

M

H

1

Нехай ребро куба MM = x , тоді з подібності трикутників

1

x

M H

A

D

SOH і MM H випливає пропорційність сторін:

=

1

,

1

SO

OH

S

a

x 2

M H = OH − OM =

−

.

1

1

2

2

a

x 2

2 x

−

( tgα )

2 x

x 2 +

⋅ 2

2

2

=

;

= a − x 2 ;

= a ;

N

M

a tgα

a

tg α

tg α

2

a tg α

a 3

3

tg α

x =

; V

= x 3 =

.

куба

2 + 2 tg α

(

3

2 + 2 tg α)

K

N

O

M

H

1

1

a 3

3

tg α

Відповідь.

V

=

.

куба

(

3

2 + 2 tg α)

Варіант 7

Частина перша

1.1. Відповідь. В).

1.2. Відповідь. Г).

1.3. Відповідь. Б).

1.4. 32: 40⋅100 %= 80 %.

Відповідь. В).

1.5. Відповідь. А).

1.6. cos4 x = 0 ;

π

4 x =

+ k

π , k ∈ Z ;

2

π

k

π

x =

+

, k ∈ Z .

8

4

Відповідь. Б).

Варіант7  29

1.7. Відповідь. В).

1.8. f′( x) = 6( x

2 − )

1 5 ⋅2 ; f′( )

1 = 6⋅(2⋅1− )

1 5 ⋅2 = 12 .

Відповідь. Г).

1.9. c = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 10 .

Відповідь. Г).

1.10. Точки, симетричні відносно осі ординат, мають однакову другу координату

і протилежні абсциси.

Відповідь. Б).

1.11. Відповідь. Г).

1.12. Із прямокутного трикутника, який утворюють висота SO, радіус AO та

S

твірна AS конуса (з гіпотенузою AS = 8 см та гострим ∠ ASO =

°

60 ), зна-

йдемо:

3

AO = AS ⋅sin6 °

0 = 8⋅

= 4 3 (см);

2

1

SO = AS ⋅cos6 °

0 = 8⋅

= 4 (см);

2

B

1

1

1

S

= SO⋅ AB = ⋅ SO⋅2 AO = ⋅4⋅2⋅4 3 = 16 3 (см2).

ASB

2

2

2

O

Відповідь. А).

A