Частина четверта

4.1М. ОДЗ: 9 x + a > 0 .

9 x + = 3 x

a

; 3 x = t .

Завжди, коли t > 0 , справджується ОДЗ.

t 2 − t + a = 0 .

D = 1 − a

4 .



1 

1) Якщо 1 − 4 a < 0 a >

, розв’язків немає.



4 

1 

1

1 4 a

2) Якщо 1 −



4 a0 a

, то t = ±

−

.



4 

2

1

1 4

1 + 1 − 4 a

2.1) 3 x

a

= +

−

; t > 0 ;

> 0 . 1− 4 a > 1

− вірно для всіх a 1 , тому

2

2

4

 1+ 1− 4 a 

x = log

.

3 





2



1

1 4

1 − 1 − 4 a

2.2) 3 x

a

= −

−

, при a  0 немає розв’язків, оскільки

0 ; при

1

0 < a

2

2

4

1

1 4 a

1 − 4 a < 1 , тому x =

−

−

log

.

3

2

1

1 4 a

1 

1

1 4 a

Відповідь. При a ∈(−∞;0] x =

+

−

log

; при a ∈0;

x =

−

−

log

; при a > 1

3

2



4

розв’язків немає.



3

2

4

4.2М. 1) D( y): x ∈ R .

2) Функція парна, неперіодична.

3) Перетин з осями координат: з Ox: y = 0 , x = ±1 ; з Oy: x = 0 , y = −1 .

x 2 − 1

x 2 − 1

4) lim

0 , lim

= 1 . Горизонтальна асимптота y = 1 .

x→∞ x( x 2 + ) =

1

x→∞ x 2 + 1

4 x

5) y′ = (

, y′ = 0 , x = 0 . у′

–

+

2

x 2 + )

1

у

0

х

Функція зростає при x ∈[0; + ∞) ; спадає при x ∈(−∞;0] . x = 0 , y = −1 .

min

min

− x

12 2 + 4

6) y′′ = (

; y′′ = 0 , x 2

1

=

, x = ± 1 .

3

x 2 + )

1

3

3

у

–

+

–

х

1

1

− 13

3

1

− 13

3



1

1 

При x ∈ −

;

 функція опукла вниз.

–1

0

1

х



3

3 



1 

 1



–1

При x ∈ −∞; −

 ,

;



+ ∞ функція опукла вгору.



3 

3





Графік побудовано.

18  Варіант5

4.3

2

М. Розглянемо ліву частину рівняння: x 2 + 2 2 , тоді 2 x +2  4 .

Розглянемо праву частину рівняння: x 2  0 , тоді 4

2

− x 4 .

Отже, нерівність справджується тільки при 2 2

x +2 = 4 , 4

2

− x = 4 , звідки x = 0 .

Відповідь. x = 0 .

4.4М. Розглянемо переріз кулі, куба і конуса площиною,

S

що проходить через вісь конуса. У перерізі маємо

рівнобедрений трикутник ASB з кутом α при основі,

в який вписано круг з центром O , а в круг вписано

1

прямокутник MKPN, у якого MK і PN — ребра куба,

KP і MN — діагоналі основ куба. Нехай SO = x , тоді

AO = x ctgα , ∠ ASO =

°

90 − α . Розглянемо трикутник

P

K

KO

SKO :

1 = sin(90° − α) = cosα .

1

O

SO

1

N

1

r

Назвемо KO = r , маємо

= cosα ,

M

1

x − r

O

x cosα

r + r cosα = x cosα , r =

.

1 + cosα

A

MN = KM 2 ; із  KMN : KM 2 MN 2 KN 2

+

=

;

S

2

KM 2 + KM 2 = ( r 2

2

2 ) ;

r

r

2

KM 2

4

=

; KM =

.

3

3

K

r

8 3

8 x 3

3

cos α

P

V

= KM 3 =

=

.

куба

3 3

3 3 (1 + cosα)3

O 1

π

3

2

π

x

2

2

π

V

= ⋅ AO ⋅ SO = ⋅ x ⋅ctg α ⋅ x =

⋅

2

ctg α .

кон.

3

3

3

M

N

V

π 3 ctg2 α(1+ cosα)3

Відповідь. кон. =

.

A

O

B

V

8cos3 α

куба

Варіант 5

Частина перша

1.1. Відповідь. В).

1

1.2. −9 x +1 5

, = − x + 5 ;

4

−36 x + 6

− x + 20

=

;

4

4

−36 x + 6 = − x + 20 ;

−35 x = 14 ;

Варіант5  19

14

2

x = −

= − = −0,4 .

35

5

Відповідь. В).



3

2 

23

8

1.3.

−

.



2

y  = − ( 2 y) = −

3

6

y

Відповідь. Б).

1.4. 7 2

x − 9 x = 0 .

x 7

( x −9)= 0 .

 x = 0,

 x



= 0,

x = 0,



9



x

2

7 − 9 = 0;

 x = ;

 x = 1 .



7



7

Відповідь. Г).

1.5. Відповідь. Б).

1

1

1

1

1

1

1

1

1.6. 3 −

+ 5

−

= − + − = − + = 0 .

64

32

16

4

2

4

2

2

Відповідь. А).

1.7. tgα = f′(3) = 1; α = arctg1 = 45° .

Відповідь. Б).

1.8. Оскільки важливо, хто з двох обраних буде капітаном, а хто заступником,

!

то використовуємо формулу A 2

5

=

= 4⋅5 = 20 .

5

3!

Відповідь. Б).

1.9. 180° −70° = 110° .

Відповідь. А).

2

1.10. AB = (4 − )

1 2 + (2 −(−2) = 9+16 = 25 = 5 ;

2

AC = (4 − 8)2 + (2 −(− )

1

= 16 + 9 = 25 = 5 ;

AB = AC .

Відповідь. А).

1.11. V = R

π 2 H = π⋅ 2

4 ⋅5 = 80π .

Відповідь. Г).

1.12. Кількість ребер піраміди є парним числом.

Відповідь. Б).