Частина друга
3
1
2
π
π
2
2.1. Поділимо все рівняння на 2, маємо:
sin x + cos x =
; cos
sin x + sin cos x =
;
2
2
2
6
6
2
π
π
π
π
sin x +
1 ; x +
=
+ 2 n
π ; x =
+ 2 n
π , n ∈ Z .
6 =
6
2
3
π
Відповідь. x =
+ 2 n
π , n ∈ Z .
3
x
x
x
x
x
1
−
1
1
1
1
1
1
2.2.
5
30 ;
5
( 1) 30 ;
5 ;
; x −1 .
5 ⋅ + 5
5
+
5
5
5
Відповідь. x ∈(−∞; ]
1 .
2.3. f′( x) = x
2 − 2 ;
f ′( x
4 , оскільки дотична паралельна прямій y = x
4 + 7 .
0 ) =
2 x − 2 = 4 ;
0
2 x = 6 ;
0
x = 3 .
0
Відповідь. x = 3 .
0
2.4. 2 2
a − a ⋅ b = 2
2
1
a − a ⋅ b ⋅cos a, b
2 9 3 2
18 3
( )= ⋅ − ⋅ ⋅ −
2
21 .
2 =
+ =
Відповідь. 21.
Частина третя
3.1. D( f): x ∈ R .
f ′( x) = e 2 x + x
2 e 2 x = e 2 x (1+ x
2 ) ; f′( x) = 0 ; e 2 x 1
( + x
2 ) = 0 ; e 2 x ≠ 0 , тоді 1+ 2 x = 0 , x = − 1 .
2
1
− ∈[−2; 0] .
2
Знайдемо значення функції на кінцях відрізка [−2; 0] і в точці − 1 :
2
2
1
1
1
f (0) = 0 ; f (− ) = − ⋅ e−
2
2
4 = −
; f −
e−1
.
e 4
2 = − ⋅
= −
2
e
2
Порівняємо − 2 та − 1 , для цього оцінимо різницю:
4
e
2 e
2
1 −2
1
3
e − 2
2
1
−
− −
0 , тоді −
> −
.
4
e
2 e =
+
=
>
4
e
2 e
2 4
e
4
e
2 e
1
Відповідь. max f ( x) = 0 ; min f ( x) = −
.
[− ;2 0]
[− ;2 0]
2 e
Варіант 30 131
4
y
3.2. f ( x) = 4 ( x 2 − ) = x 2
4
− 4 .
4
Точки перетину з віссю Ox: ±2 . Частину графіка функції y = x 2 − 4 ,
що міститься нижче осі Ox, відобразимо симетрично відносно цієї осі.
Графік побудовано.
0 1
х
–4
3.3. Площа одного перерізу 25π см2, його радіус O A = 5 см; площа
1
другого перерізу 144π см2, його радіус O B = 12 см. Позначимо
2
OO = x , OO = y , складемо систему:
A
1
2
O 1
2
2
2
2
+
=
+
x
5
y
12 ,
( x 2
2
+
= y 2
2
+
= R 2
5
12
).
x
+ y = 17;
O
Розв’яжемо систему:
O
y = 17 − x,
2
y =
− x, y = ,
В
{ 17 { 5
x 2 + 52 =
2
(17 − x) +122; x =12;
x = 12.
R 2
2
2
= 12 + 5 = 144 + 25 = 169 ; R = 13 ; S
= 4 R 2
π
= 676 (см2).
повна
Відповідь. 676 см2.
Частина четверта
4.1М. Нехай t
x
= 4 , t > 0 , маємо рівняння:
t 2 − ( a +1) t + a
4 −12 = 0 ;
D = a 2 + a + −
a +
= ( a − )2
2
1 16
48
7 .
При a = 7 є один корінь t = 4 ; x = 1 ;
a + 1 ± ( a − 7)
при a ≠ 7 : t =
; t = 4 , t = a − 3 .
2
1
2
Буде тільки один корінь, якщо a − 3 < 0 , при a < 3 .
Відповідь. При a = 7 або a < 3 .
y − > ,
y > ,
вище прямої y = ,
у
4.2М. ОДЗ: { 1 0 { 1
1
x +1 > 0; x > −1; праворуч від прямої x = −1,
1
log ( y −1) > log
;
3
3 x +1
1
y −1 >
;
2
x + 1
1
1
y >
+1 — частина площини вище гіперболи.
–1 0
1
х
x + 1
Графік побудовано.
132 Варіант 30
c
a b c
4.3М. У прямокутному трикутнику з катетами a і b та гіпотенузою c R =
, r = + − .
2
2
r
( a + b − c)⋅2 a + b
Отже,
=
=
−1 .
R
c
2
c
a + b
Достатньо проаналізувати величину
. Якщо гострий кут трикутника дорівнює α , то
c
c cos α + c sin α
a = c cos α ; b = c sin α . Розглянемо функцію f (α) =
= cos α + sin α і дослідимо її на
c
екстремум ( 0° < α < 90° ).
f ′ (α) = − sin α + cos α , f′ (α) = 0 ;
2
І спосіб. cos α − sin α = 0 ⋅
;
2
2
2
cos α −
sin α = 0 ;
2
2
π
sin
− α
0
4
= ;
π
− α = π k , k ∈ Z ,
+
–
+
4
π
0
π
π
5π
α = + π k , k ∈ Z .
х
4
2
4
4
π
π
На проміжку від 0 до
функція f (α) набуває свого найбільшого значення в точці
α = +
. π n, n
Отже, ∈ Z
2
4
α
=
°
45 .
max
ІІ спосіб. cos α − sin α = 0 : sin α = 0 ,
ctgα = 1,
π
α = + π n, n ∈ Z.
4
Відповідь. 45°.
4.4М. Кут нахилу бічного ребра до площини основи — це кут між
бічним ребром і його проекцією на основу. Отже, ∠ SAO = α ,
S
∠ S AO β .
1
=
Оскільки в основі лежить квадрат і за умовою AO = R , то
AD = R 2 .
S
= R
2 2 ;
осн
S O = AO ⋅tg β = R tg β ; SO = AO ⋅tg α = R tg α .
1
1
1
S 1
V
= S ⋅ SO , V
= S ⋅ S O ;
вел
осн
3
мал
осн
3
1
B
C
1
1
2 R 3
V
− V
= S ⋅( SO − S O
2
2
tg α
tg β
tg α tg β
1
)= ⋅ R ( R
− R
)=
(
−
)
вел
мал
осн
3
3
3
O
1
1
2 R 3
V
− V
= S ⋅( SO − S O
2
2
tg α
tg β
tg α tg β .
1
)= ⋅ R ( R
−
)=
(
−
)
вел
мал
осн
R
3
3
3
А
D
2 R 3
Відповідь.
V
− V
=
(tgα −tgβ) .
вел
мал
3
Відповіді 133
ВідпоВіді до заВдань частин першої та другої
Варіант 1
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
x = 1
x = 50
4
18π
15
Варіант 2
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
1
π
x ∈[1;4)∪(4; + ∞)
F( x) = − cos x
2 −
3
2
6 +
x = 16, x = 2
5 см
1
2
Варіант 3
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
4
400 м
x = 12
1536 см3
134 Відповіді
Варіант 4
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
2
6; 3
sinα
x ∈(2;3)
120 см2
Варіант 5
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
π
x =
+ π k, k ∈ Z
g′(–2) = –4
6
x ∈(− ∞; − ]
1 ∪[ ;
3 + ∞)
60 см2
Варіант 6
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
x = 0, x = 3
x = 8
1
2
1
2 6 см
6
Відповіді 135
Варіант 7
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
x = −2
60
x = 0
24 см2
Варіант 8
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
–3
4,5
96
10 см
Варіант 9
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
1
(− ∞;−4]; [ ;4+ ∞)
cosα
x ∈[−1;0)∪(3;4]
144 см3
136 Відповіді
Варіант 10
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
5π
π k
x =
+
, k ∈ Z
7 с
16
2
D( y): x ∈(− ;
3 + ∞)
D (2;0;0)
Варіант 11
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
x = 3
x = 16
8
144
2
π см
Варіант 12
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
[−3;− ]1
F( x) = 4 x − x
5 + 2
x = 2
4 5
2
, π см
Відповіді 137
Варіант 13
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
e 3 − e
3 + 2
1 + a + b
3
420
16 3
2
см
Варіант 14
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
0
–1; –2; –3
x ∈(0;10)
4 см
Варіант 15
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
2π
x = ±
+ 2π k, k ∈ Z
x = 3
3
0
x ∈(− ∞;2]
1 дм
138 Відповіді
Варіант 16
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
x = 3
x = 4
0,4
3 3
2
дм
Варіант 17
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
Непарна
4
x = 5
192 см2
Варіант 18
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
x = 12
S( t) = t 2 − t
5 + 6
13
13 см
Відповіді 139
Варіант 19
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
tg(α + β)
x
= −1
min
x ∈[3; + ∞)
420
3
см
Варіант 20
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
x = 2π n, n ∈ Z
1 5
,
x ∈(− ∞; − 3]∪[ ;
3 + ∞)
m = 7
Варіант 21
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
x = 1
x = 8
14
P = 5
8π 2 см2
66
140 Відповіді
Варіант 22
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
1
Парна
x−1
1
4 4
e
− tg2 x + C
2
x = 6
288
3
π см
Варіант 23
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
1
3
2
x = 6
32 дм3
Варіант 24
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
0,96
f ( x)
спадає при x ∈[−2;4]
1
x ∈ ;2
3 см
4
Відповіді 141
Варіант 25
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
m
π
x =
, m ∈ Z
y = 4 x + 2
4
x ∈(1;2)
15 см2
Варіант 26
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
x = 4
x = 6, x = 2 5
,
1
2
x ∈{0; 1; 2; }
3
4 3 см
Варіант 27
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
x ∈(2;3)∪(3; + ∞)
0,2
1
127; 2
4 см
5
142 Відповіді
Варіант 28
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
3
5
1
2
од
8
27
56 варіантів
2 2 см
Варіант 29
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
−ctg3α
x
= −6
max
x ∈(− ∞; − 4]∪[ ;
1 + ∞)
63 см3
Варіант 30
Частина перша
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Частина друга
π
x =
+ 2 n
π , n ∈ Z
x = 3
3
0
x ∈(− ∞; − ]
1
21
143
зміст
Варіант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Варіант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Варіант 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Варіант 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Варіант 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Варіант 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Варіант 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Варіант 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Варіант 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Варіант 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Варіант 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Варіант 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Варіант 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Варіант 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Варіант 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Варіант 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Варіант 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Варіант 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Варіант 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Варіант 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Варіант 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Варіант 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Варіант 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Варіант 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Варіант 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Варіант 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Варіант 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Варіант 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Варіант 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Варіант 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Відповіді до завдань частин першої та другої . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Навчальне видання
МатеМатика. 11 клас
Розв’язання всіх завдань до посібника
«Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики»
Упорядники: Ольга Володимирівна Скляренко,
Наталія Борисівна Чистякова
Т15463У. Підписано до друку 20.03.2011. Формат 84×108/16.
Папір офсетний. Гарнітура Шкільна. Друк офсетний.
Ум. друк. арк. 11,76.
ПП «РанокНТ». Свідоцтво ДК № 2121 від 10.03.2005.
61052 Харкiв, пров. Сiмферопольський, 6.
144
ГОЛУБОЙПУРПУРНЫЙЖЕЛТЫЙЧЕРНЫЙ
Е К З А М Е Н
Б Е З П Р
Б Л Е М
О
ГОЛУБОЙ
ПУРПУРНЫЙ
ЖЕЛТЫЙ
ЧЕРНЫЙ
Document Outline
Варіант 1.
Варіант 2
Варіант 3
Варіант 4
Варіант 5
Варіант 6
Варіант 7
Варіант 8
Варіант 9
Варіант 10
Варіант 11
Варіант 12
Варіант 13
Варіант 14
Варіант 15
Варіант 16
Варіант 17
Варіант 18
Варіант 19
Варіант 20
Варіант 21
Варіант 22
Варіант 23
Варіант 24
Варіант 25
Варіант 26
Варіант 27
Варіант 28
Варіант 29
Варіант 30
Відповіді до завдань частин першої та другої
Зміст