Частина четверта

4.1М. ОДЗ : a − x ;

0 x a .

Розв’яжемо нерівність з параметром графічно. Перетвори­

y

мо нерівність

a − x  − x та побудуємо графіки функцій

y = a − x і y = − x .

1

2

1) y = a − x — положення графіка цієї функції залежить

0

1

від значення а.

y =

x

− 1

−

2) y = − x — пряма, що є бісектрисою II та IV чвертей.

4

x

Для розв’язання нерівності будемо відбирати ті проміжки, на

яких точки функції y лежать вище прямої y = − x .

1

Якщо a  0 , функції y і y мають одну точку перетину x і нас

1

2

0

цікавить проміжок ( x ; a) .

0

Якщо a < 0 , функції можуть мати дві точки перетину, тоді нас

цікавить проміжок між цими точками; одну спільну точку,

тоді вона і є розв’язком нерівності; можуть не перетинатись,

і тоді розв’язків немає. Знайдемо точки перетину: a − x = − x ,

1

1 4 a

a − x = x 2 ; x = − ±

+

, якщо a  − 1 .

2

4

Відповідь. Якщо a < − 1 , розв’язків немає; якщо a = − 1 , x = − 1 ;

4

4

2

1

 −1− 1+ 4 a −1+ 1+ 4 a 

 −1− 1+ 4 a



якщо −

< a < 0 , x ∈

;

; якщо a  0 , x ∈

; a .

4











2

2





2



128 Варіант 29

4.2М. cosπ( x 2 + y 2) = 1

− ;

y

π( x 2 + y 2) = π + π

2 k , k ∈ Z ;

5

7

x 2 + y 2 = 1+ k

2 , k ∈ N∪ {0} .

Маємо сім’ю кіл з центром в точці (0;0) і радіусів виду 1+ 2 k ,

3

k ∈ N ∪ {0} .

0

x

Графік побудовано.

4.3М. Побудуємо графіки функцій y = x 2 − x

6 + 8 та y = 5 − x − 3

y

і знайдемо їх точки перетину.

5

1) y = x 2 − x + −

= ( x − )2

6

9 1

3 −1 ;

2) y = 5 − x − 3 = − x − 3 + 5 ;

2

3)

x 2 − x

6 + 8 = 5 − x − 3 ; x = 1; x = 6 .

1

2

Фігура, площу якої треба знайти, симетрична відносно

прямої x = 3 . Отже, знайдемо площу однієї частини, а по0

1 2

3 4

х

тім її помножимо на 2.

На інтервалі від 1 до 2 фігура обмежена графіками функцій

–3

y = x + 2 та y = x 2 − x

6 + 8 , на інтервалі від 2 до 3 — графі­

ками функцій y = x + 2 та − x 2 + x

6 − 8 .

2

3

S = x

( +2−( x 2 − x 6+8) dx x( 2 ( x 2 x 6 8) dx

) + + − − + − ) =

∫

∫

1

2

2

3

2

3

2

3

3

2

x

x

 x

x



2

2

 7



5

= (7 x − x −6) dx + ( x −5 x +10) dx =

−

− 6

+10 x

2

3

 3

2

 =

1

2



 +

−

∫

∫

1

2

7

1

1

5

21

7

19

25

= (4 − )

1 − (8 − )

1 − 6 + (27 − 8) − (9 − 4) +10 =

− + 4 +

−

= 6 .

2

3

3

2

2

3

3

2

Шукана площа дорівнює 6⋅2 = 12 .

S

Відповідь. 12.

4.4М. Кут нахилу бічного ребра до площини основи — це кут між

K

бічним ребром і його проекцією на основу, отже, ∠ SBH = α ,

точка O — центр описаної кулі. OK ⊥ SB .

Розглянемо  SHB : OS = OB , OK = a . Це рівнобедрений

O

трикутник, тоді точка K є серединою SB.

B

∠ S =

°

90 − α , SK = OK ⋅ctg∠ S = OK ⋅tgα = a tgα .

A

SB = SK

2

= a

2 tgα .

H

M

HB = SB⋅cosα = a

2 cosα ⋅tgα = a

2 sinα .

C

S

SH = SB⋅sinα = a

2 sinαtgα .

HB

Із  SMH : MH =

= a sinα .

2

K

SM 2 SH 2 MH 2

=

+

;

О

SM = a 2

2

sin α + a 2

2

sin α +

2

tg α = a sinα

+

2

4

1 4tg α .

AC = HB⋅ 3 = a

2

3 sinα .

Н

B

Варіант 30 129

AC 2 3

1

12 a 2 3

2

sin α

3

S

=

+ ⋅3⋅ AC⋅ SM =

+ ⋅ 2 a 3 sinα ⋅ a sinα 1+ 4 2

tg α =

повнa

4

2

4

2

AC 2 3

1

12 a 2 3

2

sin α

3

S

=

+ ⋅3⋅ AC⋅ SM =

+ ⋅ 2

3 sinα ⋅ sinα 1+ 4 2

tg α = = 3 3 2

2 α 1+ 1+

(

4

2

a sin

tg α ) .

повнa

a

a

4

2

4

2

Відповідь.

S

= 3 3 a 2

2 α 1+ 1+

(

4

2

sin

tg α ).

повнa

Варіант 30

Частина перша

1.1. Відповідь. Г).

1.2. Відповідь. Г).

( a + b)⋅ c⋅( c − d

2 )

c

1.3.

=

(

.

c − d

2 )( a + b 2

a

)

+ b

Відповідь. Б).

1.4. Відповідь. В).

1.5. Відповідь. Г).

4

1

11

12 12

−

−

−

1.6. p 7 21 21 = p 21 21 = p 0 = 1 .

Відповідь. А).

1.7. Відповідь. Б).

1.8. Дільниками числа 24 на гранях кубика є числа 1, 2, 3, 4, 6 — разом 5 варіантів,

5

тоді ймовірність

.

6

Відповідь. В).

1.9. Відповідь. Б).

BH

BH

1

B

1.10. AB = 2⋅ BH , sin∠ A =

=

=

.

С

AB

2 BH

2

Тоді sin∠ A =

°

30 .

Відповідь. А).

S

A

Н

D

1.11. Відповідь. Г).

SO

6 3

1.12.  ASB — правильний, тоді AS =

=

= 12 (см).

sin6 °

0

3

1

1

AO =

AB =

AS = 6 (см).

2

2

2

В

1

1

V =

π⋅ AO 2 ⋅ SO = π⋅36⋅6 3 = 72π 3 (см3).

3

3

O

Відповідь. В).

A

130 Варіант 30