Частина третя

4

4

4

54

( 5 )

a +

ab

a

a +

b

a

81

3

3.1.

=

4

4

.

5 b + 4 ab

4 b 54 b

( + 4 a

b

) = =

=

256

4

3

Відповідь.

.

4

9

3.2. 53 x+2 ⋅32 x−1 =

⋅33 x ⋅52 x ;

5

5 53 x+2 5 2

− x

32 33 x 3−(2 x−1

⋅

⋅

=

⋅

⋅

) ;

51+3 x+2−2 x = 32+3 x−2 x+1 ;

53+ x 33+

=

x ;

3 + x = 0 ;

x = −3 .

Відповідь. x = −3.

3.3. BN ⊥ AC , BN — проекція B N на площину основи; за теоремою

1

про три перпендикуляри B N ⊥ AC .

B 1

1

∠ B NB — кут β між площиною  AB C, що утворюють

A

1

1

1

діагоналі бічних граней, і основою. AB = B C = d .  ABC —

1

1

α

проекція  AB C на площу основи.

1

C

1

d 2 sinα cosβ

1

S

= S

⋅cosβ = AB ⋅ B C⋅sinα ⋅cosβ =

.

ABC

AB C

1

2

1

1

2

α

У  B NC (∠ N =

°

90 ): B N = d cos .

B

1

1

2

A

α

β

У  B BN (∠ B =

°

90 ): B B = B N sinβ = d cos ⋅sinβ = H .

1

1

1

2

ц

N

α

C

2

2

d sin2 sin cos

d sinα cosβ

α

β

α

V = S ⋅ H =

⋅ d cos sinβ =

2 .

пр

осн

2

2

4

α

d 2 sin2βsinα cos

Відповідь.

V =

2 .

пр

4

118 Варіант 27

Частина четверта

4.1М. ОДЗ: x 2 − x

8 + 7  0 ;

( x −7)( x − )10;

+

–

+

x ∈[1;7].

1

7

х

Оскільки

x 2 − x

8 + 7  0 на області значень, перевіримо, для яких значень параметра a

log ( x − a) 0.

2

Ця нерівність зводиться до сукупності нерівностей:

x − a > , x > a

{ 0 { , x a+1.

x − a 

1;

x  a + ;

1

 a +1 < 1,

1)  x ∈



[1;7];

a+1

1

7

х

1

  a +17,

2)  x ∈



[ a+1;7];

1 a+1 7

х

3) a +1 > 7 ; ∅ .

1

7

a+1

х

Відповідь. Якщо a < 0 , то x ∈[1;7]; якщо 0 a6, то x ∈[ a +1;7]; якщо a > 6, то ∅.

2

x − 2 

4.2М. y = 

.

 x + 2 

у

1) D( y): x ≠ −2 .

2) Функція загального вигляду.

3) Точки перетину з осями координат (0;1) та (2;0).

1



2

x − 2 

4) lim

0; x = −2 — вертикальна асимптота;

x→−  x + 2  =

2

–2 0

2

х



2

x − 2  1

lim

0 .

x→∞  x + 2 

=

x



2

x − 2 

lim

;

1 y 1 — горизонтальна асимптота;

x→∞  x + 2  =

=

x − 2  x + 2 − ( x − 2)

8( x − 2)

5) y′ = 

2

=

;

 x + 2 

( x +2)2

( x +2)3

у′( х)

+

–

+

у( х)

–2

2

х

y

(2)= 0 .

min

Графік побудовано.

Варіант 28 119

4.3М. 5 x 12 x 13 x

+

=

.



x

x

5 

12 

Оскільки 13 x ≠ 0 , розділимо обидві частини рівності на 13 x. Маємо

1.

 13  +  13  =

x

x

5 

12 

Функції y = 

та y = 

— спадні на всій числовій осі. Сума спадних функцій також

 13 

 13 

функція спадна. Отже маємо: зліва спадну функцію, справа — постійну. За теоремою про

корені рівняння має один корінь, який легко підібрати: x = 2.

Відповідь. x = 2.

4.4М. Розглянемо осьовий переріз конусів; маємо рівнобічний

S

трикутник ASC, в якому OB ⊥ AS , SO = H за умовою.

Із  ASO : AO = SO tgα = H tgα .

Із  SBO: ∠ SBO =

°

90 ; OB = SO sinα = H sinα .

∠ BOS =

°

90 − α.

O 1

В

У  BOO ∠ O BO =

°

90 − ∠ BOO

90

90

α

α.

1

1 =

° − ( ° − ) =

1

H sin2α

Тоді BO = OB cosα = H sinαcosα =

; OO

OB sinα H

2

=

= sin α.

1

C

2

1

O

BO є радіусом вписаного конуса, OO — його висота.

1

1

A

1

1

H 2

2

sin 2α

H 3

2

π

sin 2

2

αsin α

V =

π⋅ BO 2

2

π

sin α

.

1 ⋅ OO 1 =

⋅

⋅ H

=

S

3

3

4

12

α

H 3

2

2

sin 2 sin

Відповідь.

V = π

α

α .

12

O

В

1

A

O

C

Варіант 28

Частина перша

1.1. За основною властивістю пропорції 2 x = 5⋅8 ; x = 20 .

Відповідь. А).

1.2. Відповідь. В).

1.3. ax 2 + bx + c = 0 ; a = 1 , b = −(−2 + 3) , c = −2⋅3 ; маємо рівняння: x 2 − x − 6 = 0 .

Відповідь. Б).

1.4. Відповідь. А).

120 Варіант 28

1.5. Відповідь. Г).

1.6. sin(8 x − x) = sin7 x .

Відповідь. Б).

1.7. Відповідь. В).

1.8. f′( x) = x

2 − 5 ; f′(3) = 6 −5 = 1; tgα = f′(3) = 1, тоді α =

°

45 .

Відповідь. В).

BC

AC

AC ⋅ sin ∠ A

6 ⋅ ,

0 3

1.9. За теоремою синусів:

=

, sin∠ B =

=

= ,

0 9 .

sin A

∠

sin B

∠

BC

2

Відповідь. Г).

1.10. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, тоді ∠ ADC = 2⋅ ∠ ABD =

°

110 ;

∠ CDK =

°

180 −

°

110 =

°

70 .

Відповідь. Г).

1.11. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник; за умовою одна його сторона дорівнює 12 см,

а діа гональ — 13 см, тоді друга сторона дорівнює 132 122

−

= 5 (см). Ця сторона і є діаметром

основи.

Відповідь. Б).

S

1.12. ∠ ASO =

°

45 , тоді AO = SO = 6 см.

d 2

(2 AO)2

S

=

=

= 2 AO 2 = 72 (см2).

осн

2

2

1

1

V =

⋅ SO ⋅ S

(см3).

осн =

⋅6⋅72 = 144

3

3

Відповідь. А).

O

А