Частина друга

1

1

2.1. 22 x

3

22 x

⋅

+ ⋅

⋅

= 20 ;

32

64



3 

22

1

x ⋅

+

20

 32 64  =

;

22

5

x = 20:

;

64

22 x = 4⋅64 ;

2 x = 8 ;

x = 4 .

Відповідь. x = 4 .

2.2. Нехай x цукерок з білого шоколаду, тоді ймовірність витягнути цукерку з білого шокола­

x

x

1

5 x − x − 15

ду дорівнює

, за умовою

<

;

0

15 0 , тоді

x + 15

x + 15

5

5( x +15) < . Оскільки x  0 , то x +

>

3

4 x −15 < 0 , x < 3

. x — ціле число, тоді x ∈{0; 1; 2; }

3 .

4

Відповідь. x ∈{0; 1; 2; }

3 .

x  2,

2.3. ОДЗ: {

. x ∈[2; 15) .

x < 15;

x 2

x − 2 =

;

15 − x

15 − 30

2

−

+ 2

2

x

x

x − x

= 0 ;

15 − x

2 2

x −17 x + 30 = 0 ;

D = 289 − 240 = 49 ;

17 ± 7

x =

;

4

x = 6 , x = 2 5

, .

1

2

Відповідь. x = 6 ; x = 2 5

, .

1

2

2.4. Якщо 2 бічні грані перпендикулярні до основи, то ребро, по якому

S

вони перетинаються, є висотою піраміди. Кут нахилу грані CSB до

площини основи — це кут між апофемою SH і її проекцією на основу,

отже, ∠ SHA =

°

60 .

CB

CH =

= 3 (см); із  AHC : AH = AC 2 − CH 2 = 25 − 9 = 4 (см);

А

В

2

із  SAH : SA = AH ⋅tg ∠ SHA = 4tg6 °

0 = 4 3 (см).

Н

Відповідь.

SA = 4 3 см.

С

Варіант 26 113

Частина третя

 cosα

sin α  cos6α − cos10α

cosα sin4α − sinα ccos4α 2sin8α sin2α

3.1.

−

⋅

=

 cos4α

sin4α  ⋅

=

sin α

3

cos4α sin4α

sin3α

2sin3α 2sin8α sin2α

=

⋅

= 4sin2α .

sin8α

sin3α

Відповідь. 4sin2α .

225

3.2. Позначимо одне число x, тоді інше буде

. Отже, сума чисел x + 225 . Розглянемо функцію

x

x

S( x) = x + 225 та дослідимо її на екстремум, х > 0.

x

225

x 2 225

′( ) = 1−

=

−

S x

; S′( x) = 0 ; x 2 − 225 = 0 ; ( x −15)( x +15) = 0 ; x = 15 , x = 15

−

.

x 2

x 2

1

2

S′( х)

–

+

S( х)

0

15

х

Функція S( x) набуває свого найменшого значення. x

= 15 . Тоді y = 15 .

min

Відповідь. 15, 15.

3.3. ABCDA B C D — похилий паралелепіпед, в основі яко­

B

C

1

1 1

1

1

1

го квадрат ABCD зі стороною b. Оскільки всі бічні гра­

ні — ромби, то DD = b . Точка D рівновіддалена від

1

1

вершин квадрата, отже, ABCDD — правильна чотири1

кутна піраміда, у якої всі ребра дорівнюють b, а висота

A

D 1

1

є висотою паралелепіпеда. У трикутнику DOC (∠ O =

°

90 )

b

OC =

.  DOC = COD за катетом і гіпотенузою, тоді

1

2

b

у  COD (∠ O = 90°) D O =

.

1

1

2

B

C

b

b 3

V

= S ⋅ H = b 2 ⋅

=

.

пар

осн

2

2

O

b 3

A

D

Відповідь.

V

=

.

пар

2

Частина четверта

2

4.1М. ОДЗ: 4 x − a > 0 ; 4 x > a ; (2 x ) > a .

Перетворимо нерівність 4 x − > 2 x

a

; 2 x > 0 , отже, 4 x − a > 0 для всіх коренів рівняння.

2

(2 x) −2 x − a=0. Розв’яжемо квадратне рівняння відносно 2 x . Воно має розв’язки, якщо

1

1 4

 1± 1+ 4 a 

D = 1+ a

4  0 , тобто a  − 1 . Отже, 2 x

a

= ±

+

, x = log

.

2 



4

2



2



114 Варіант 26

Перевіримо, чи виконується нерівність 2 x > 0 .

1

1 4

Для 2 x

a

= +

+

умова 2 x > 0 виконується при всіх a  − 1 .

2

4

1 − 1 + 4 a

Розглянемо нерівність

> 0 . Вона виконується, якщо 1− 1+ 4 a > 0 ; 1+ 4 a < 1 ;

2

1

 1− 1+ 4 a 

1

0 1 + 4 a < 1 ; −

 a < 0 , тобто x = log

має зміст при −

 a < 0 , отже, нерівність

4

2 





2



4

1

2 x > 0 правильна при всіх −

 a < 0 .

4

1

 1± 1+ 4 a 

Відповідь. Якщо a < − 1 , розв’язків немає; якщо −

 a < 0 , x = log

; якщо a  0 ,

2 



4

4



2



 1+ 1+ 4 a 

x = log

.

2 





2



4.2М. Нерівність рівносильна системі:

у

 x 2 + y 2 −2 2( x + y),



3

x 2 + y 2 − 2  − 2



( x+ y);

2

 x 2 − x

2 +1+ y 2 − y

2 +1 − 4  0,

1

 x 2

 + x

2 +1+ y 2 + y

2 +1 − 4  0;

–3 –2 –1

0 1 2 3

х

( x − )12 +( y − )12 4,

–1

( x+ 2

2

–2



)1 +( y+ )1 4.

2

2

–3

Геометричним образом нерівності (

 x − )

1 2 + ( y(

 − x−)121 

) 4+, є

( yкруг

− )

1 з

 цен4,



тром в точці 1

( ;1) радіуса 2, а (

2

2

x + 2

2

( )1 ( )



)1 +(

нерівності y +

x +)

1  4

+ . y +1  4. —

частина площини за винятком круга з центром в точці (−1; − )

1

радіуса 2.

Графік побудовано.

2π

4π

4π

8π

16π

32π

2sin

sin

cos

cos

cos

cos

2π

4π

8π

16π

32π

4.3М. cos

cos

cos

cos

cos

31

⋅

=

31

31

31

31

31 =

31

31

31

31

31

2π

2π

2sin

2sin

31

31

1

8π

8π

16π

32π

1

16π

16π

32π

1

32π

32π

sin

cos

cos

cos

sin

cos

cos

sin

cos

= 2

31

31

31

31 = 4

31

3

31

31

8

31

31

=

=

2π

2π

2π

2sin

2sin

2sin

31

31

31

1

64π



2π 

π

sin

sin 2

2

π

sin

16

31



+ 31

1

=

=

=

31

=

.

2π

2π

2π

32

2sin

32sin

32sin

31

31

31

1

Відповідь.

.

32

Варіант 27 115

4.4М. Точка О — центр кулі. AO = SO = R . Кутом між твірною конуса

і площиною основи є кут між твірною та її проекцією на основу,

S

отже, ∠ SAH = α . За умовою KNPM — квадрат, тоді KM = 2 KO .

1

Розглянемо переріз комбінації геометричних тіл площиною, що

проходить через вісь конуса. У перерізі маємо рівнобедрений

 ABS , вписаний у круг радіуса кулі, у  ABS вписаний квад­

О

рат KNPM.

За теоремою синусів AS = R

2 sinα .

В

Із  ASH : AH = AS ⋅cosα = R

2 sinαcosα = R sin α

2 ;

A

H

SH = AS ⋅sinα = R

2 sin2 α .

Нехай KO = x , тоді O H = x

2 .  KSO   ASH за двома

1

1

1

KO

SO

ку тами, із подібності трикутників випливає:

1

1

=

,

AH

SH

N

x

2 R sin2 α − x

2

SO = SH − O H,

=

.

K

О

1

1

R sin2α

2 R sin2 α

1

x

2 R

2

sin α − x

2

x

2 R sin2 α − x

2

=

;

=

;

P

2 R sinα cosα

2 R sinα sinα

cosα

sinα

H

x sinα = 2 R sin2 αcosα − x

2 cosα ; x sinα + x

2 cosα = R sin α

2 sinα ;

M

x(sinα + 2cosα) = R sin α

2 sinα ;

S

R sin2α sinα

x =

. Оскільки KO радіус циліндра:

sinα + 2cosα

1

О

S

= 2 ⋅ KO 2

2

2

π

π

π

π

π ,

1

K

1 + 2

⋅ KO 1 ⋅ O H

1

= 2 x + 2 ⋅ x⋅ x

2 = 6 x

повна

N

6 R 2

2

π sin 2

2

αsin α

S

=

.

повна

(

O

sinα + 2cosα)2

α

6 R 2

2

π sin 2

2

αsin α

Відповідь.

S

=

.

A

M

H

P

B

повна

(sinα +2cosα)2

Варіант 27

Частина перша

1.1. Відповідь. Г).

1.2. c( m − )

1 − 2( m − )

1 = ( c − 2)( m − )

1 .

Відповідь. А).

1.3. Відповідь. Б).

1.4. 10 000 +10 000⋅0 1

, 6 = 11600 .

Відповідь. В).

1.5. Відповідь. Б).

116 Варіант 27

π

π

1.6. x −

= − + 2 n

π ; n ∈ Z;

4

2

π

x = −

+ 2 n

π ; n ∈ Z.

4

Відповідь. В).

1.7. Упорядкуємо вибірку, найчастіше повторюється число 2.

Відповідь. Б).

1.8. f′( x) = x

2 − 2; 2 x − 2 > 0 ; x > 1.

Відповідь. А).

1.9. Відповідь. Б).

1.10. −4 x + 8 = 12 ; x = −1.

Відповідь. Г).

1.11. Відповідь. А).

A

1.12. AB = 3 см; OB = 8 :2 = 4 (см); AO = 32 + 42 = 5 (см).

B

Відповідь. Г).

O

Частина друга

 x >



2,

2.1. D( f):  x ≠ 3, x ∈(2;3)∪(3; + ∞).

x ≠



0;

Відповідь. x ∈(2;3)∪(3; + ∞).

2.2. ОДЗ: x > 2.

Нехай t = log

2 ; t 2 − t

2 − 3 = 0; t = 3, t = 1

− .

5 ( x −

)

1

2

log ( x − 2) = 3 або log ( x − 2) = 1

− .

5

5

1

x − 2 = 125;

x − 2 =

;

5

1

x = 127.

x = 2 .

5

1

Відповідь. 127; 2 .

5

1

5

1 (2 x −1)

2 − 1

0 − 1

1

1

1

2.3. Після інтегрування маємо:

⋅

=

−

=

+

= = 0,2.

2

5

10

10

10

10

5

0

Відповідь. 0,2.

Варіант 27 117

2.4. Якщо ∠ B =

°

150 , то ∠ A =

°

180 −

°

150 =

°

30 ;

C

B

C

S

= S + S

2

;

1

1

повн

біч

осн

2 S

= 132 − 96 = 36 (см2);

осн

AB 2

A

S

= AB 2 ⋅sin °

30 =

;

1

D

осн

1

2

B

150°

D

AB 2

36

B

C

=

; тоді AB 2 = 36; AB = 6;

30°

2

2

S

= 4⋅ AB⋅ AA ,

O

біч

1

A

D

S

96

тоді AA =

бі ч

=

= 4 (см).

A

1

4 AB

4 ⋅6

Відповідь. 4 см.