Частина друга

2.1. cos6 x = cos2 x ; cos6 x − cos2 x = 0 ; −2sin2 x sin4 x = 0 ;

sin2 x = 0 ,

sin4 x = 0 ,

n

m

x = π , n ∈ Z .

x = π

, m ∈ Z .

2

4

m

n

m

Оскільки відповідь x = π

включає в себе відповідь x = π , то x = π

, m ∈ Z .

4

2

4

m

Відповідь. x = π

, m ∈ Z .

4

2.2. 2 x = t , маємо: t 2 − t

6 + 8 < 0 ; t 2 − t

6 + 8 = 0 ; t = 2 , t = 4 .

1

2

+

–

2

–

4

х

2 < t < 4 ;

2 < 2 x < 4 , тоді 1 < x < 2 .

Відповідь. x ∈(1; 2) .

2.3. f′( x) = x

2 + 2 ; x = 1; f 1

( )=1+2+3= 6; f′( )1= 2+2= 4 .

0

y − 6 = 4( x − )

1 ; y = x

4 + 2 .

Відповідь: y = x

4 + 2 .

2.4. AB = 6 см, ∠ AOB =

°

90 , SO = 4 см. Проведемо OH ⊥ AB , з’єднаємо

S

точки S і H, тоді за теоремою про три перпендикуляри SH ⊥ AB .



AB

AOB — прямокутний рівнобедрений, тоді OH =

= 3 (см),

2

SH = SO 2 + OH 2 = 16 + 9 = 5 (см).

AB ⋅ SH

6 ⋅5

S

=

=

= 15 (см2).

перерізу

2

2

O

В

Відповідь. 15 см2.

Н

A

Частина третя

3.1. Знайдемо точки перетину графіків:

у

2 2

x = x +1;

2 2

x − x −1 = 0 ;

2

D = 1+ 8 = 9 ;

1

1 ± 3

1

x =

; x = 1 , x = −

.

4

1

2

2

1

–1 0

1

х

1

2

3

16 + 3 + 2

21

7

1

2

 x

x

2



1

2

1

1

1

S = ∫ ( x +1− x

2 ) dx =

+ x −

1

2 −

= 2 −

= 2 −

= 1

24

24

8

8

1

 2

3 

=

+ − − + −

=

1

2

3

8

2

12

−

−

2

2

1

1

2

3

16 + 3 + 2

21

7

1

2

 x

x

2



1

2

1

1

1

S = ∫ ( x +1− x

2 ) dx =

+ x −

1

2 −

= 2 −

= 2 −

= 1 (од2)

24

24

8

8

1

 2

3 

=

+ − − + −

=

1

2

3

8

2

12

−

−

2

2

1

Відповідь. 1

од2.

8

108 Варіант 25

x > y

3.2. ОДЗ: { ,

x > − y.

Нехай 4 x + y = s , 4 x − y = t , маємо систему:

 s − t = 2,

s − t = , 2 s = 6

s = ,

(

{

2 { , { 3

s + t



)( s− t)= 8; s+ t = 4; 2 t = 2; t =1.

4 x + y = 3, x + y = , x = ,



{

81 { 41

4 x − y =



1;

x − y = 1;

y = 40.

Відповідь. x = 41 , y = 40 .

3.3. ABCD — квадрат, тоді, якщо S

= Q ,

B

ABCD

1

C 1

то AB = Q , AC = AB 2 =

Q

2

.

A

A B C D — квадрат, тоді, якщо S

= q , то

1

D

1

1

1

1

A B C D

1

1 1 1 1

A D = q , A C =

q

2 .

1

1

1 1

Кут між бічним ребром і ребром основи ∠ A AM 60 .

1

=

°

C

B

Розглянемо рівнобічну трапецію AA D D: АМ — ви1

1

AD − A D

Q − q

сота трапеції, AM =

1

1 =

.

H

2

2

A

M

D

AM

У  AA M (∠ A MA 90 : AA =

= Q + q .

1

=

°)

1

1

A

D

cos60°

1

1

Розглянемо діагональний переріз призми — рівно­

бічну трапецію AA C C: AH — висота трапеції і приз1

1

AB − A B

Q

2

−

q

2

Q − q

ми; AH =

1

1 =

=

.

2

2

2

У  AA H (∠ A HA 90 :

1

=

°)

1

A

M

D

2

( − )

2

Q

q

Q − q

HA = AA 2 − AH 2 =

Q

( − q) −

=

.

1

1

2

2

AC + A C

Q

2

+

q

2

Q − q

Q

1 1

− q

S

=

⋅ HA

.

1 =

⋅

=

перерізу

2

2

2

2

Q q

Відповідь:

S

=

− .

перерізу

2