Частина друга

2.1. sinα = − 1 − cos2 α = − 1 − ,

0 36 = − ,

0 8 , sin2α = 2sinα ⋅cosα = 2⋅(− ,

0 6)⋅(− ,

0 8) = ,

0 96 .

Відповідь. 0,96.

2.2. Нехай log x = t , маємо: t 2 − t − 2  0 ;

,

0 5

t 2 − t − 2 = 0 ;

+

+

t = 2 , t = 1

− ;

–

х

1

2

–1

2

1

−1  t 2 ; −1  log x 2 ;

 x  2 .

0 5

,

4

1



Відповідь. x ∈ ; 2 .

 4



2.3. f′( x) = x 2 − x

2 − 8 ; f′( x) = 0 ; x 2 − x

2 − 8 = 0 ; x = 4 , x = 2

− .

1

2

f ′( x) = x 2 − x

2 −

+

– 8

+

Відповідь. x ∈[−2;4] .

f ( x

–2

4

х

)

B

2.4. ∠ AOB =

°

90 , OO = 6 см. ABCD — квадрат. AB = AD = OO

6 см.

1 =

1

H

O

Відстань від осі циліндра до площини перерізу: спроектуємо вісь і пере­

різ на площину верхньої основи, вісь проектується в точку O, переріз —

A

у відрізок AB. Тоді відстань від точки O до AB буде і відстанню від OO

1

до площини ABC. В  ABO AO = OB , ∠ AOB =

°

90 , тоді OH є також

C

1

медіаною, тоді OH =

AB = 3 (см).

2

O 1

Відповідь. 3 см.

D

Варіант 24 103

Частина третя

 x > 0,

 x >





0,



3.1 ОДЗ: log x

,

 x ≠ 1,

2

≠ 0

2log x

 ; 

2

+



1 0 

1

x 

.



2

1 + 2log x +1 − log x

2

2

= 0 ;

log x

2

log x = t , 1+ 2 t +1 − t = 0 ;

2

2 t +1 = t −1 .

Рівняння має розв’язки при t 1 .

2 +1

2

t

= t − 2 t +1 ;

t 2 − t

4 = 0 ;

t = 0 — сторонній корінь, t = 4 .

1

2

log x = 4 ;

2

x = 16 .

Відповідь. x = 16 .

2

2

 −

B

12 

( x −12)

С

2

x

3.2

AD = x . У  ABH: h

2

+

12

= 144 −

.



2

 =

; h

4

h

BC + AD

12 + x 1

S =

⋅ h =

⋅

144⋅4 − ( x −12)2 .

2

2

2

Дослідимо функцію S( x) на екстремум ( х > 0):

A

Н

х

D





1

2

2

12 + x

−2( x −12)

1

2

144 − x

S′ =

144⋅4 − ( x −12) +

⋅

=  144⋅4 − ( x −112) +



4

4

2 144⋅4 − ( x −12)2

4 

144





⋅4 − ( x −12 2) 





1

2

2

12 + x

−2( x −12)

1

2

144 − x

S′ =

144⋅4 − ( x −12) +

⋅

=  144⋅4 − ( x −112) +

 ;

4

4

2 144⋅4 − ( x −12)2

4 

144





⋅4 − ( x −12 2) 

144⋅4 − ( x −12 2) +144

2

− x

S′ = 0 ;

= 0 ;

144⋅4 − ( x −12 2)

x 2 −

x

12 − 288 = 0 ;

S′( х)

+

–

S( х) 0

24

х

x = 6

− — сторонній корінь, x = 24 .

1

2

Відповідь 24 см.

104 Варіант 24

1

3.3

SO = H , нехай A S = l , AS = L , тоді за умовою S =

S ,

S

1

б

б

1

2

r

L

S

2π rl = π RL ,

=

.

R

l

2

A O

A S

r

l

 ASO   A SO , тоді 1 1

1

=

,

=

.

O

1

1

AO

AS

R

L

1

А

А

1

O

l

L

1

l

SO

1

1

Маємо:

=

; 2 2

2

l = L ;

= 1 ; тоді

1 =

;

L

l

2

L

2

SO

2

SO

H

SO =

=

.

O

A

O

1

2

2

A

H

Відповідь.

.

2