Частина третя

3.1. ОДЗ: x 2 − x

4 + 3 > 0 ;

x 2 − x

4 + 3 = 0 ;

+

1

3

+

x = 1 ; x = 3 ;

–

х

1

2

x ∈(−∞; )

1 ∪ ( ;

3 + ∞) .

Оскільки при x ∈(−∞; )

1 ∪ ( ;

3 + ∞) x 2 − x

4 + 3 > 0 , то:

x 2 + x

5 + 7 > 0 ;

x 2 + x

5 + 7 = 0 ;

+

+

х

D = 25 − 28 < 0 .

Враховуючи ОДЗ, маємо: x ∈(−∞; )

1 ∪ ( ;

3 + ∞) .

Відповідь. x ∈(−∞; )

1 ∪ ( ;

3 + ∞) .

2tg

2⋅3

6

3

3.2. tg2α

α

=

=

= − = − .

1 − tg2 α

1 − 9

8

4

Поділимо чисельник і знаменник даного дробу на cos2α , маємо:

2

− ⋅3 −3

2tg2α − 3

4

− ,5

9

1

4

=

=

= − = 2

−

.

4tg2α + 5

4

− ⋅3

2

4

4

+ 5

4

1

Відповідь. −2

.

4

Варіант 22 95

3.3. S = q , S = Q , тоді A B = q , AB = Q , ∠ A AH 45° .

1

=

1

2

1

1

B 1

C 1

AC = AB 2 =

Q

2

, A C =

q

2 .

1 1

Розглянемо трапецію AA C C , її висота А Н є також

A

1 1

1

1

D

висотою піраміди.

1

( AC A C )

AH =

− 1 1 .

2

C

B

Q

2

−

q

2

Q − q

AH =

=

; A H

(оскільки

H

1

= AH

2

2

 A AH —прямокутний рівнобедрений).

A

D

1

AC + A C

Q

2

+

q

2

Q − q

Q − q

S

1

1

=

⋅ A H =

⋅

=

.

AA C C

1 1

2

1

2

2

2

Q − q

Відповідь.

.

2

Частина четверта

4.1М. cos2 x(cos2 x − a) = 0

cos2 x = 0 ;

π

2 x =

+ n

π ;

2

π

n

π

x =

+

, n ∈ Z , або cos2 x = a

4

2

π

π 3π 

Якщо n = 0 , x =

∈ ;

.

4

 4 4 

3π

π 3π 

Якщо n = 1 , x =

∈ ;

.

4

 4 4 

Тоді рівняння cos2 x − a = 0 або не повинно мати коренів ( при a > 1), або його корені повинні

збігатися з коренями рівняння cos2 x = 0 (при a = 0 ).

Відповідь. a = 0 або a > 1.

4.2М. log

(1 y

.

x

+ ) < 1

1−

1

 + y > 0



,  y > −



1,

ОДЗ: 1

 − x > 0,  x < 1,

1 − x ≠ 1



;

x ≠



0.

1) Якщо 0 < 1 − x < 1 ( x ∈(0 )

1

; ), то маємо:

0

1

1 + y > 1 − x ; y > − x .

–1

y =

2) Якщо 1 − x > 1 ( x < )

0 , то маємо:

–x

1 + y < 1 − x ; y < − x .

Графік побудовано.

96 Варіант 22

4.3М. y = 2 − 2 − x , y = 3 .

x

y

Знайдемо точки перетину графіків:

3

x < 0 , 2 − 2 + x = −

;

x

3

x +

= 0 ; x 2 + 3 ≠ 0 .

2

x

y = 3 x

3

3

0  x < 2 , 2 − 2 + x =

; x −

= 0 ;

x

x

0

2

x

x 2 − 3 = 0 ;

x

−

2

x = 3 ( − 3 не належить проміжку).

−

= 2

3

y

x 2 , 2 + 2 − x =

;

x

3

x +

− 4 = 0 ;

x

x 2 − 4 x + 3

= 0 ;

x

x 2 − x

4 + 3 = 0 .

x = 3 , x = 1  2

1

2

2

3

2 



3 



 x 2





x 2



S =

x −

dx

4 x

dx

3ln x

x

4

3lln x



x 

+

− −



x 

=

−

2





+

−

−

∫

3

3

2



2

 =

∫

3

3

2

=

3

3

9

3

2 − 3ln2 −

+ ln3 +12 − − 3ln3 − 8 + 2 + 3ln2 = 2 − ln3 .

2

2

2

2

3

Відповідь. 2 − ln3 .

2

4.4М. Кут нахилу твірної до площини основи – це кут між твірною

та її проекціею на основу, тоді ∠ SAH = α .

S

Нехай радіус основи конуса AH = r .

Розглянемо переріз конуса та кулі площиною, яка проходить

через вісь конуса. У перерізі маємо рівнобедрений  ASB , впи-

саний в круг радіуса кулі, точка О — центр кулі, вона належить

B

висоті SH (або її продовженню), АО — радіус кулі.

Із  ASH : SH = AH ⋅tgα = r ⋅tgα .

H

AH

r

SB = SA =

=

.

A

cosα

cosα

SB

r

r

За теоремою синусів AO =

=

=

2sinα

2sinα cosα

sin2α

4π ⋅ AO 3

4π ⋅ r 3

S

V

=

=

.

кулі

3

2

3

sin 2α

π

3

2

π

r

2

π sinα

V

= ⋅ AH ⋅ SH = ⋅ r ⋅ r tgα =

.

кон

3

3

3cosα

V

r

π 3 sinα

4π ⋅ r 3

r

π 3 sinα ⋅

3

sin

α

2 ⋅3

3

tg α sin 2α

O

кон

=

:

=

=

.

V

3cosα

3

2sin

α

2

3cosα ⋅ 4

3

π ⋅ r

4

α

кулі

A

H

B

tg α sin3 α

2

Відповідь.

.

4

Варіант 23 97

Варіант 23

Частина перша

1.1. Відповідь. Б).

1.2. Відповідь. А).

1.3. D = 16 + 3⋅7⋅4 = 16 + 84 = 100 .

Відповідь. В).

1.4. −6  − a  − 4 , −18  − 3 a  −12 , −16  2 − 3 a  −10 .

Відповідь. Г).

x

1

 1 

 1 

1.5.



, x  1 .

 3 

 3 

Відповідь. Б).

1.6. Відповідь. В).

1.7. Відповідь. Г).

1.8. f′( x) = x

3 2 −1 x

2 ; 3 x( x − 4) = 0 ; x = 0 ; x = 4 .

f′( х)

+

–

+

x

= 4 .

min

f( х)

0

4

х

Відповідь. А).

1.9. Тоді діагональ дорівнює 2⋅3 = 6 (см), сума двох діагоналей: 6 + 6 = 12 (см).

Відповідь. В).

1.10. BH = 9 см, AB = 15 см. Із  ABH : AH = 152 − 92 = 12 (см). Висота, про­

В

ведена до основи, є також медіаною, тоді AC = 2⋅ AH = 24 (см).

Відповідь. Г).

A

H

С

2

2

8 

1.11. S = 4 R

π

=



4π

4π 16 64π .

п

 2  =

⋅

=

Відповідь. Г).

1.12. −1:3 = 2:(−6) = −3:9 .

Відповідь. Г).

98 Варіант 23

Частина друга

2.1. 2log2 9 :2log2 3 = 9:3 = 3 .

Відповідь. 3.

2.2. ( x + 2)! = 56⋅ x! ; x!⋅( x + )

1 ( x + 2) = 56⋅ x! , тоді ( x + )

1 ( x + 2) = 56 ;

x 2 + x

3 − 54 = 0 ;

D = 9 + 216 = 225 ;

3 15

x = − ±

;

2

x = 6

або

x = −9 — не підходить, оскільки x — натуральне.

Відповідь. x = 6 .

π

π

3

3

 1



1  1

1 

1

2.3. S =

x

2 dx = −

x

2

.

 2

 = −

− −

2

π

 2 2  =

∫sin

cos

2

6

π

6

1

Відповідь.

.

2

S

2.4. Двогранний кут при основі — це кут між апофемою і площи-

ною основи, отже, це ∠ SHO , ∠ SHO =

°

30 . K — середина

SH, OK = 2 дм.

Розглянемо прямокутний  SOH :

OK — медіана, тоді OK = 1 SH , SH = OK

2

= 4 (дм);

K

2

C

B

OH = SH ⋅cos3 °

0 = 2 3 (дм); SO = SH ⋅sin3 °

0 = 2 (дм).

AD = 2⋅ OH = 4 3 (дм).

H

O

1

1

2

V =

⋅ AD 2 ⋅ SO = ⋅16⋅ 3

2 32 (дм3).

3

3

( ) ⋅ =

D

А

Відповідь. 32 дм3.

S

K

30°

О

H