Частина третя

3.1. 3cos x − 2sin x cos x = 0 ;

cos x(3 − 2sin x) = 0 ;

cos x = 0 або 3 − 2sin x = 0 ;

π

x =

+ n

π , n ∈ Z , або sin x = ,

1 5 — немає розв’язку.

2

Найменший додатний корінь маємо при n = 0 , x = π .

2

Відповідь. x = π .

2

90 Варіант 21

3.2. a + b = 24 ; S = a 3 + b 3 .

a = 24 − b , тоді S( b) = (24 − b)3 + b 3 ; дослідимо функцію S( b) = (24 − b)3 + b 3

на екстремум ( b > 0):

S′( b) = −3(24 − b)2 + b

3 2 ; S′( b) = 0 ; −3(24 − )2 + 3 2

b

b = 0 :3 ; −242 + 48 − 2 + 2

b b

b = 0 ;

48 b = 576 ; b = 12 ; b

= 12 ;

min

2

2

тоді a = 24 −12 = 12 .

S′( b) = −3( –

24 − b) ++ b

3

S( b) = (

3

0

24 − b)12+ b 3

b

Відповідь. 12 і 12.

3.3. За умовою AB = 3 м, BC = 4 м, B D = 5 м, A C = 7 м.

1

1

B

C

Нехай AA = h , тоді з  B BD : BD 2 =

− h 2

25

;

1

1

1

1

із  A AC : AC 2 =

− h 2

49

.

1

32 + 42 − AC 2

25 − 49 + h 2

Із  ABC : cos∠ B =

=

.

A 1

D

2⋅3⋅ 4

24

1

32 + 42 − BD 2

25 − 25 + h 2

Із  ABD : cos∠ A =

=

.

B

C

2⋅3⋅ 4

24

Так як ∠ A + ∠ B = 18 °

0 , то cos∠ B = −cos∠ A .

O

25 49

2

2

−

+ h

h

A

D

= −

; 2 2

h = 24 ; h 2 = 12 ; h = 2 3 м;

24

24

BD = 25 −12 = 13 (м);

25 − 13

12

1

cos∠ A =

=

=

, тоді ∠ A =

°

60 .

24

24

2

3⋅ 4 ⋅ 3

S

= AB⋅ AD⋅sin∠ A = 3⋅4⋅sin °

60 =

= 6 3 (м2);

осн

2

V = S

6 3 2 3

36 (м3).

осн ⋅ h =

⋅

=

Відповідь.

V = 36 м3.

Частина четверта

4.1.М ОДЗ: x  a .

 x = a,

Оскільки x − a  0 , розв’язання зводиться до розв’язання сукупності: x

 2 − x

5 + 6  0;

x 2 − x

5 + 6  0 ;

+

+

x 2 − x

5 + 6 = 0 ;

–

а

x = 2 , x = 3 .

2

3

1

2

Якщо a < 2 , маємо:

x ∈

а

[ a;2]∪[ ;3+∞].

а

2

3

Якщо a = 2 , маємо:

x ∈

а

[3;+∞)∪{ }

2 .

2

3

Якщо 2 < a < 3 , маємо:

а x ∈[3; + ∞)∪ a

{ }.

2

а

3

Варіант 21 91

Якщо a = 3 , маємо:

x

а

∈[3; + ∞) .

2

3

Якщо a > 3 , маємо:

x

а

∈[ a; + ∞).

2

3 а

Відповідь. При a < 2 x ∈[ a;2]∪[ ;

3 + ∞] ; при a = 2 x ∈[3; + ∞)∪{ }

2 ; при 2 < a < 3 x ∈[3; + ∞)∪ a

{ };

при a = 3 x ∈[3; + ∞) ; при a > 3 x ∈[ a; + ∞) .

4.2.М 1. D( y): 1

2

− x > 0 ; x < 1; x ∈(−1; )

1 .

у

− x

x

2. y(− x) =

= −

— непарна.

1 − x 2

1 − x 2

3. Перетин з осями координат:

з OX: y = 0 ; x = 0 ; (0;0) ;

–1

1

х

з OY: x = 0 , y = 0 , (0;0) .

x

x

4. lim

= ∞ ; lim

= ∞ ;

x→1

1 − x 2

x→−1

1 − x 2

вертикальні асимптоти: x = 1 ; x = −1 .

1

1

− 3

1

5. y′ =

− x⋅ ⋅(− x

2 )⋅ 1

2

2

0 ;

2

( − x ) =

1 x

2

1 x 2 (1 x 2 ) >

−

−

⋅ −

y′ > 0 для будь-якого x ∈(−1; )

1 , тоді функція монотонно зростає на всій області визначення.

Графік побудовано.

4.3.М ОДЗ: ( x − 6)(23 − x) > 0 ;

x = 6 , x = 23 ;

1

2

–

+

–

6

23

х

x ∈(6;23) .

Рівняння рівносильне сукупності:



π( x − 4)

 ( 4)

 x = 5 + n

2 ,

cos

π x −

π



= 0,



=

+ π

n,





2

 2

2

 29± 285

lg

2

x =

 входять до О

;

ДЗ

 ( x − 6)(23 − x) = 0;

x

23 − 6⋅23 + x

6 − x = 1; 

2

6 < 5 + 2 n < 23 ;

1 < 2 n < 18 ;

1

< n < 9 ;

2

n = 1,2,3, ... 8 .

Тоді разом маємо 10 розв’язків.

Відповідь. 10.

92 Варіант 22

4.4.М ABCDS — правильна чотирикутна піраміда, AB = BC = CD = AD = a AB = BC = CD = AD = a ; двогранним кутом при ребрі основи є кут між апо-

S

фемою та її проекцією на основу, отже, ∠ SKH = α .

Центр описаної кулі лежить на висоті піраміди (або на про-

довженні висоти), точка O — центр кулі.

a

a

Із квадрата ABCD: HK =

, AH =

.

2

2

B

O

a tg α

Із  SHK : SH = HK ⋅tgα =

;

C

2

a 2

2

tg α

a 2

a

a

2

1 cos α

K

із  ASH : AS = SH 2 + AH 2 =

+

=

2

tg α + 2 =

+

H

4

2

2

2cosα

A

D

a 2

2

tg α

a 2

a

a

2

1 cos α

AS = SH 2 + AH 2 =

+

=

tg 2 α + 2 =

+

.

S

4

2

2

2cosα

Розглянемо діагональний переріз піраміди; у перерізі маємо

рівнобедрений  ASC .

SH

a sinα a 1 + cos2 α

sinα

Із  ASH : sin∠ A =

=

:

=

.

AS

2cosα

2cosα

O

1 + cos2 α

SC

A

C

За теоремою синусів із  ASC :

= R

2 , тоді

H

sin ∠ A

SC

a 1

2

cos α

2sin

a

+

α

(1+ 2

cos α)

R =

=

:

=

.

2sin ∠ A

2cosα

1 +

2

2sin2

cos α

α

Радіус кола, описаного навколо  ASC , є радіусом кулі, опи-

3

3

4 R 3

π

4

a 3

π

(1+ 2

cos α)

a 3

π (1+

2

cos α)

саної навколо піраміди, тоді: V =

=

⋅

=

3

3

8

3

sin 2α

6

3

sin 2α

3

3

4 R 3

π

4

a 3

π

(1+ 2

cos α)

a 3

π (1+

2

cos α)

V =

=

⋅

=

.

3

3

8

3

sin 2α

6

3

sin 2α

3

a

π 3 (1+

2

cos α)

Відповідь.

V =

.

3

6sin α

2

Варіант 22

Частина перша

1.1. Відповідь. В).

1.2. Відповідь. А).

1.3. 4 3 + 5 3 − 6 3 = 3 3 .

Відповідь. Б).

Варіант 22 93

1.4. Відповідь. Г).

1.5. Відповідь. Б).

1.6. −1  x − 2 1,

1  x  3 .

Відповідь. Г).

1.7. Відповідь. В).

1

1

1

1.8. f′( x) = x 2 −

, f ′( )

1 = 1 −

=

.

2 x

2

2

Відповідь. Б).

 



1.9. AB(4 −( 3

− ); 3 −2) = 7

( ; 1) .

Відповідь. А).

1

100

2

⋅ sin °

60

50 3

1.10. S =

d ⋅sinα =

=

= 25 3 .

2

2

2

Відповідь. Б).

1.11. 12 ребер основи і 12 бічних ребер, тобто 24 ребра.

Відповідь. Б).

C

1.12. AK = AB⋅ 2 = 2 2 ; AD = 2 .

AD ⊥

D

пл. ABK , тоді  ADK — прямокутний,

DK = AD 2 + AK 2 = 4 + 8 = 12 = 2 3 .

Відповідь. Б).

B

K

A

L

Частина друга

2.1. f (− x) = (− x − )

1 2 + (− x + )

1 2 = ( x + )

1 2 + (1− x)2 — парна функція.

Відповідь. Парна.

 x  1,



2.2. ОДЗ: 

1 x  1 .

x  − ;



4

( x − )12 = x

4 +1 ;

x 2 − x

2 +1 − x

4 −1 = 0 ;

x( x − 6) = 0 ;

x = 0 — не входить до ОДЗ

або x = 6 .

Відповідь. x = 6 .

94 Варіант 22

1 x−1

1

2.3. Проінтегруємо: 4 4

e

− tg2 x + C .

2

1 x−1

1

Відповідь. 4 4

e

− tg2 x + C .

2

2.4. Кут між площиною SAB і площиною основи — це кут між висотою SH

 ABS та її проекцією OH на основу, тобто кут SHO. За умовою

S

∠ SHO =

°

45 , AB = 12 3 см, ∠ AOB = 12 °

0 .

12 °

0

AB

Із  AOH : ∠ AOH =

=

°

60 ; AH =

= 6 3 .

2

2

AH

6 3

6 3

Тоді AO =

=

= 12 (см). OH = AH ⋅ctg6 °

0 =

= 6 (см).

sin6 °

0

3

3

В

2

O

Н

Із  SOH : ∠ SOH =

°

90 , ∠ SHO =

°

45 , тоді  SOH рівнобедрений,

A

SO = OH = 6 см.

O

1

1

V =

⋅ AO 2 ⋅ SO = ⋅144⋅6 = 288π (см3).

3

3

Відповідь. 288π см3.

A

В

H