Частина третя

3.1. Дослідимо функцію f ( x) = x

2 2 − x 4 +1 на екстремуми:

f′( x) = x

4 − x

4 3; f′( x) = 0 ; 4 1

2

x( − x ) = 0; 4 x 1

( − x) 1(+ x) = 0

f′( х)

+

–

+

–

f( х) –2

–1

0

1

х

На проміжку −

 2;0 максимум функції досягається в одній точці, отже, в цій точці — най-

більше значення на проміжку: f (−1) = 2−1+1 = 2.

Знайдемо значення функції на кінцях відрізка:

f (−2) = 2(−2)2 −(−2)4 +1 = −7; f(0) =1.

Відповідь. Найбільшим значенням є 2, найменшим — –7.

6

3

6

a

( −96 a)(3− 6 a

a

a

( −9 3 a

)

)( − )

3.2.

=

3 a 9

3 8 9 = −(2 − 9) = 7 .

3

6

6

6

(

)=−( − )

a − 3 a

a

a

( −3) =− −

Відповідь. 7.

3.3. Якщо бічне ребро похилої призми завдовжки 10 см утворює кут 45° із площею основи,

2

то її висота дорівнює 10sin45° = 10

= 5 2 (см).

2

P = 5 + 6 + 9 = 20 (см), p = 10 см; S

= 10⋅(10−5)(10−6)(10−9) = 10⋅4⋅5 =10 2 (см2).

осн

осн

V = S ⋅ h = 10 2 ⋅5 2 = 100 (см3).

пр

осн

Відповідь.

V = 100 см3.

пр

Частина четверта

4.1М. ОДЗ: a

x

− 9 > 0 ; a

x

> 9 ; 9 x > 0 , отже, a > 0 .

log ( a 9 x

− ) = x ;

3

a

x

x

− 9 = 3 ; 3 x > 0 для будь-яких х, тому a

x

− 9 > 0 для будь-яких х.

2

9 x + 3 x − a = 0 ; (3 x ) + 3 x − a = 0 .

Розв’яжемо квадратне рівняння відносно 3 x . Воно має розв’язки, якщо D = 1+ a

4  0 , тобто

1

1 4

 −1± 1+ 4 a 

a  − 1 . Отже, 3 x

a

= − ±

+

, x = log

.

3 



4

2



2



−1 − 1 + 4 a

 −1− 1+ 4 a 

Очевидно:

< 0 для будь-яких а (розв’язок x = log

не має змісту).

3 



2



2



−1 + 1 + 4 a

Знайдемо a, для яких

> 0 . −1+ 1+ 4 a > 0 ; 1+ 4 a > 1 ; 1 < 1+ 4 a ; 0 < 4 a ; a > 0 .

2

 −1+ 1+ 4 a 

Отже, розв’язок x = log

має зміст при a > 0 , тобто 3 x > 0 при a > 0 .

3 





2



 −1+ 1+ 4 a 

Відповідь. Якщо a > 0 , x = log

; якщо а J 0, розв’язків немає.

3 





2



Варіант 20 87

x 2

4.2М. 1) y =

−

— функція загального вигляду.

x 2 + 5



2 

2) Точки перетину з осями координат: 0; −

( ; ).



5 ; 2 0

x − 2

3) lim

= 0. y = 0 — горизонтальна асимптота; інших асимптот немає.

x→ ∞ x 2 + 5

x 2 + 5 − x

2 ( x −2)

x 2 − 4 x −5

( x −5)( x +1)

у′( х)

–

+

–

4)

′

y =

(

.

2

2

2

у( х)

–1

5

x 2 +

х

5)

= − ( x 2+5) =− ( x 2+5)

−1− 2

3

1

у

y

(−1) =

= − = − ;

min

(−1)2 +5

6

2

1

5 − 2

3

1

10

y

(5) =

=

=

.

max

(5 2) +5 30 10

0

2

5

х

Графік побудовано.

–1

4.3

2

М. 51− x +1

2

 x +36 ;

− x

5

51 2+1 =

+  ;

2

1 6

5 x

x 2 + 36  6.

Отже, нерівність виконується тільки у випадку, коли 51 2

− x +1

2

= x +36 = 6. Це відбувається

тільки коли x = 0.

Відповідь. x = 0.

4.4М. A O — радіус кулі, A O = R ; ∠ ASB = 2α.

S

1

1

Розглянемо переріз тіл площиною, що проходить через вісь кону-

са. У перерізі маємо рівнобедрений трикутник ASB, у який впи-

сано круг радіуса кулі. ∠ ASH = ∠ ASB :2 = ,

α A O

.

1

= OH = R

A O

R

Тоді SO =

1

=

.

sinα

sinα



1



R

SH = SO + OH = R 1+

(1 sinα).

A 1



O

sinα  =

+

sinα

R tg α

R

Із  AHS : AH = SH ⋅tgα =

(1+ sinα)=

(1+ sinα).

sinα

cosα

B

R 3

π

V

= 4

;

кулі

H

3

A

π

π

R 2

3

2

R

R

π

1

( siinα)3

2

+

V

= ⋅ AH ⋅ SH = ⋅

1 sin

1 sin

2

( + α) ⋅

( + α) =

конуса

3

3 cos α

sinα

cos2

3

α sinα

S

π

π

R 2

3

2

R

R

π

1

( siinα)3

2

+

V

= ⋅ AH ⋅ SH = ⋅

1 sin

1 sin

.

2

( + α) ⋅

( + α) =

конуса

3

3 cos α

sinα

cos2

3

α sinα

R

π 3 ( + sinα)3

3

1

4 R

π 3

R

π 3  (1+ sinα)



A

V

− V

=

−

=



−4

1

конуса

кулі

2

3cos α sinα

3

3  cos2 α sinα



 .

O

π R 3  1

( +sinα 3)



Відповідь.



−4 .

3

2

 cos α sinα





A

H

B

88 Варіант 21

Варіант 21

Частина перша

1.1. Відповідь. Г).

x + y + x − y = + , 4 x = 8

x = ,

1.2. {

3

3 5 {

, { 2

y = 3 − x;

y = 3 − x; y = 1.

Відповідь. Б).

1.3. Відповідь. В).

1.4. a = a + 20⋅ d = a + 20⋅( a − a ) = 5 + 20⋅ 7

( −5)= 45.

21

1

1

2

1

Відповідь. Б).

1.5. Відповідь. А).

x > − ,

1.6. ОДЗ: {

1

x < 3.

x +1 3 − x ; 2 x  2 ; x 1 .

Враховуючи ОДЗ, маємо: x ∈[1;3).

Відповідь. В).

1.7. Відповідь. Г).

π

6

π

1

1.8. S =

xdx =

−

0 =

∫cos

sin

sin

.

6

2

0

Відповідь. Б).

1.9. ∠ APB = ∠ APK + ∠ KPB =

°

25 +

°

35 =

°

60 .

Відповідь. Г).

6π

1.10. R =

= 3 (см); S = R

π 2 = π

9 .

2π

Відповідь. Б).

1.11. V = a ⋅ b⋅ h = 3⋅4⋅5 = 60 (см3).

Відповідь. В).

1.12. Відповідь. Г).

Варіант 21 89

Частина друга

7 x−2

 1 

3

3

1

2.1.

8 ; 22−7 x = 22 ; 2 −7 x =

; 7 x =

; x = 1 .

 2 

=

2

2

14

Відповідь. x = 1 .

14

⋅

2.2. Усього варіантів: C 2

12 11

=

= 66 .

12

2

Сума дорівнює 12 для: 1 +11 = 2 +10 = 3 + 9 = 4 + 8 = 5 + 7 — 5 варіантів.

Тоді: P = 5 .

66

5

Відповідь.

.

66

x  − ,

2.3. ОДЗ: {

1 ; x4 .

x  4;

x +1 = 1+ x − 4 ; x +1 = 1+ x − 4 + 2 x − 4 ; 2 x − 4 = 4 ; x − 4 = 2 ; x − 4 = 4 ; x = 8 .

Відповідь. x = 8 .

2.4. ∠ ASB =

°

60 ; ∠ AOB =

°

90 ; SA = 4 см.

S

 ASB — рівнобедрений з ∠ ASB =

°

60 ; тоді він є рівностороннім,

тоді AB = AS = 4 см.

AB

У  AOB AO = OB , AB = 4 см, тоді AO =

= 2 2 .

2

S

= π⋅ AO⋅ SA = π⋅2 2 ⋅4 = 8π 2 (см2).

біч

B

Відповідь.

S

= 8π 2 см2.

біч

O

A