Частина друга

5 x

25

2.1.

8 2 x

⋅ ⋅

= 320 ; 10 x = 320⋅

; 10 x = 1000 ; x = 3 .

25

8

Відповідь. x = 3 .

Варіант 16 69

⋅ ⋅

2.2. C 3

5 4 3

=

= 10 — усього варіантів вибору 3 карток із 5. Арифметичну прогресію можна склас-

5

2⋅3

ти з таких карток: 2, 4, 6; 4, 6, 8; 6, 8, 10; 2, 6, 10 — усього 4 можливості. Тоді ймовірність

дорівнює 4 :10 = 0,4 .

Відповідь. 0,4.

x  0,

2.3. ОДЗ: {

x3 .

x  3;

x 2

x 2 − x

3 =

; 3 2

x −12 x = 0 ; x = 0 — сторонній корінь, x = 4 .

4

1

2

Відповідь. x = 4 .

S

2.4. Маємо правильну трикутну піраміду ABCS. Кутом нахилу бічної гра-

ні до площини основи є кут між апофемою SH і висотою основи CH.

1

3

Із  ABC : CH = AB sin6 °

0 = 2 3 ; OH =

CH =

. Із  SOH :

3

3

OH

2 3

4 3

1 2 3

SH =

=

. S

=

+ 3⋅ ⋅

⋅2 = 3 3 (дм2).

B

cos6 °

0

3

повна

4

2

3

A

О

Н

Відповідь. 3 3 дм2.

C

Частина третя

1 + sin2α

2

3.1.

⋅

= 1 .

1 + cos2α

1

2

( + tgα)

2

2

2

2

cos α

2

2

cos α

Розглянемо:

=

=

=

, підставимо

1

2

2

2

( + tgα)



sinα 

(cosα + sin

1

)

+ sin2α

1 +



cosα 

1 + sin2α

2

2

cos α

2

2

⋅

= cos α = 1.

1 + cos2α

1 + sin2α

2

2

cos α

Відповідь. 1.

3.2. Нехай сторона основи контейнера (прямокутного паралелепіпеда) дорівнює а, тоді його висота

2

2

64

 2 128 

b = 64 . S

= a

2

+ ab

4

= a

2

+ a

4 ⋅

= 2 a +

.

a 2

повн

a 2



a 



128

4( a





3 − 64)

2

128 

Дослідимо функцію S( a) = 2 a +

на екстремуми ( а > 0): S′( a) = 2 a

2 −

;



a 



a 2  =

a 2

S′( a) = 0 .

a 3 − 64 = 0 ; a = 4 .

Функція S( a) в точці 4 набуває свого найменшого значення.

S′( a)

–

+

Отже a = 4 ; b = 4 .

S( a

0

4

)

a

Відповідь: 4; 4; 4.

70 Варіант 16

3.3. Оскільки піраміда правильна, то її висота потрапляє у центр

S

трикутника АВС на висоту BN. За теоремою про три перпен-

дикуляри SN ⊥ AC, тоді ∠ SNO — лінійний кут двогранно-

го кута між бічною гранню і основою (∠α) .

1

Нехай a — сторона основи, l — апофема, тоді S

= 3⋅ la ;

біч

2

1

3

S

= a 2 ⋅

.

осн

2

2

B

S

3 la ⋅ 4

3 ⋅ l

2

a

бі ч

=

=

= 2 ; a = l 3 ; NO = r =

.

S

A

2

осн

2 ⋅ a

a

3

2 3

α

O

a

У  SON (∠ O =

°

90 ) r = ON = l cosα =

.

N

2 3

C

a

l 3

1

cosα =

=

=

.

l ⋅2 3

l ⋅2 3

2

α =

°

60 .

Відповідь. 60° .

Частина четверта

4.1М. x − 2 + x + 3  a .

–

–

+

2

–

+

+

–3

1) x ∈(−∞; − 3) ;

2) x ∈[−3;2) ;

3)

x ∈[2; + ∞) ;

− x + 2 − x − 3  a ;

− x + 2 + x + 3  a ;

x − 2 + x + 3  a ;

−2 x −1 a ;

5  a .

2 x +1  a ;

a

−2 x  a +1 ;

x  − 1 .

2

a

–3

2

х

x  − + 1 .

2

2

a −1

х

2

a 1

3

− +

х

2

Така умова виконується, якщо

Така умова

a − 1

виконується, якщо

 2 ;

2

−( a + )

1

< −3 ;

a 5 .

2

a > 5 .

 a +1 a −1 

Відповідь. При a 5 x ∈ −

;

; при a < 5 розв’язків немає.



2

2 

Варіант 16 71

 y >

y



0,

4.2М. log

2

2

( y + x )=2.

ОДЗ:  y ≠ 1,

2 y

x

2

2

2

 2 + y 2 ≠ 0.

y + x = y

2 ;

1

y 2 x 2

=

;

–1

x

y = ± x .

0

1

Будуємо графіки функцій y = x та y = − x і позначаємо ті частини,

що відповідають додатним значенням y.

x 3

4.3М. Запишемо рівняння дотичної до графіка функції f ( x) = − в точці x = 6 .

x − 5

0

x − 5 − ( x − 3)

2

f (6) = 3 ; f′( x) =

= −

= −

(

2 ;

x − 5)2

( x −5)2 6

у

y = −2( x − 6) + 3 = − x

2 +15 .

15

Точки перетину графіка дотичної з осями координат: (0;15)

 15 

і

; 0

 2

 .

Площа фігури — площа прямокутного трикутника з кате-

15

тами 15 та

.

2

1

15

225

S =

⋅15⋅

=

= 56,25 .

2

2

4

0

7,5

х

Відповідь. 56,25.

4.4М. Оскільки A D є проекцією A C на AA D D , то

1

1

1

1

∠ CAD = β , AD = a .

AC — проекція A C на ABCD, ∠ A CA α .

B

C

1

1

1

=

1

Позначимо A C = d .

O

1

1

У  A DC (∠ D =

°

90 ) : CD = d sinβ .

1

У  A AC (∠ C 90 : AC = d cosα ; AA = d sinα .

1 =

°)

1

1

A

D

1

1

У  ADC (∠ D =

°

90 ) :

β

a 2

AC 2 CD 2 d 2

2

cos α d 2

2

=

−

=

−

sin β ;

B

C

α

a 2 d 2

2

2

=

(cos α−sin β);

a

d =

.

O

cos2 − sin2

α

β

A

D

a cosα

a cosα

AC =

= R

2 ; R =

;

cos2 α − sin2 β

2 cos2 α − d sin2 β

a sinα

AA =

.

1

2

2

cos α − sin β

a 2

2

π a 3

2

cos α sinα

2

π cos α

a sinα

V = S ⋅ H = R

π

⋅ AA

.

1 =

ц

осн

( 2

cos α

2

sin β) ⋅

=

−

2

3

cos α −

2

4

sin β

2

(cos α

2

− sin β 2

4

)

a

π 3

2

cos α sinα

Відповідь.

V =

.

ц

(

3

2

cos α −

2

sin β)2

4

72 Варіант 17

Варіант 17

Частина перша

1.1. Відповідь. В).

1.2. Відповідь. Б).

1.3. Відповідь. А).

1.4. Відповідь. Б).

1.5. 4 64 24

=

2 , це число задовольняє нерівностям 4 64  4 ; 4 64 < 4 .

Відповідь. В) або Г)*.

π

5

1.6. x +

= π + 2 k

π , k ∈ Z ; x = π + 2 k

π , k ∈ Z .

6

6

Відповідь. Г).

1.7. Упорядкуємо числа: 1; 1; 2; 2; 3; 3; 7. Посередині розташовано число 2, отже, медіана дорів-

нює 2.

Відповідь. Б).

1.8. Відповідь. Г).

1.9. Відповідь. А).



1.10. m = (2⋅3 −3⋅2; 2⋅(− )

1 − 3⋅4) = (6 −6; −2 −12) = (0; −14) .

Відповідь. А).

1.11. Відповідь. Г).

1.12. Висота конуса є висотою осьового перерізу; оскільки осьовий переріз є прямокутним трикут-

ником з рівними катетами, то висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи,

отже, H = 8 :2 = 4 (см).

Відповідь. Б).

Частина друга

2.1. f (− x) = sin(− x) − (− x)3 = −sin x + x 3 = −(sin x − x 3) = − f( x) , отже, функція непарна.

Відповідь. Непарна.

 > 1

2.2. ОДЗ: x

,



2

x

 > 4.

log ( x − )( x − ) = log 2

2

1

4

3 ; 2 2

x − x − 8 x + 4 = 9 ; 2 2

x − 9 x − 5 = 0 ; D = 81+ 40 = 121 ;

2

2

9 ±11

1

x =

; x = −

< 0 — сторонній корінь; x = 5 .

4

1

2

2

Відповідь. x = 5 .

*

Зверніть увагу: у даному завданні маємо дві правильні відповіді — В і Г, тоді як за умовою тесту у завдан-

нях частини першої відповідь має бути одна. Для оформлення відповіді умовно візьмемо одну правильну

відповідь — В.

Варіант 17 73



π

x

π  2

3π

π 

2.3. −2ctg

−

2ctg

2ctg

4 .

 2

4 

= −

+



4

 4  =

π

Відповідь. 4.

2.4. d — діагональ призми; a, b, h — її лінійні виміри. Нехай d = x , тоді a = x −1 , b = x − 9 , h = x −10 . Оскільки d > 0 , то x > 10 .

a 2 b 2 h 2 d 2

+

+

=

;

d

( x − )12 +( x −9)2 +( x −10)2 = x 2;

h

2 2

x − 40 x +182 = 0 ;

x 2 −

x

20 + 91 = 0 ;

b

D = 400 − 364 = 36 ;

a

20 6

x =

± ; x =7 — сторонній корінь, оскільки 7 <10; x =13.

2

1

2

a = 13 −1 = 12 (см), b = 13 − 9 = 4 (см), n = 13 −10 = 3 (см).

S

= 2( ab + bh + ah) = 2(48 +12+ 36) = 2⋅96 = 192 (см2).

повна

Відповідь.

S

= 192 см2.

повна