Частина друга

2.1. 2

2

sin x + 5cos x +1 = 0 ;

2 1

2

( −cos x)+5cos x+1=0;

2 2

2

− cos x + 5cos x +1 = 0 ;

−2

2

cos x + 5cos x + 3 = 0 ;

2

2

cos x − 5cos x − 3 = 0 .

Розв’яжемо квадратне рівняння відносно cos x :

cos x = ,

3



1

cos x = − .



2

 1 

Оскільки cos x 1 , то cos x ≠ 3 . Маємо: cos x = − 1 ; x = ±arccos −

2 k

π , k ∈ Z ;

2

 2  +



1 

2π

x = ± π − arccos

2 k

π , k ∈ Z ; x = ±

+ 2 k

π , k ∈ Z .



2  +

3

2π

Відповідь. x = ±

+ 2 k

π , k ∈ Z .

3

Варіант 15 65

2.2. 2 x+2 + 2 x+1 24 ; 2 x 22 2 x

⋅ +

⋅224 ; 6⋅2 x 24 ; 2 x 4 ; 2 x 22 ; x 2 .

Відповідь. x ∈(−∞;2].

2.3. Тангенс кута нахилу дотичної в точці x дорівнює f′( x , отже, f′( x ) = x 2

5 tg45 ;

0

0 −

=

°

0 )

0

2 x − 5 = 1 ; x = 3 .

0

0

Відповідь. x = 3 .

0

2.4. Рівносторонній  ABC вписано в коло радіусом O C .

1

a

3

B

Оскільки R =

, то O C =

= 3 (дм).

оп

1

O 1

3

3

OO ⊥ ( ABC); OO ⊥ CO ; OC = R = 2 (дм). У  OO C (∠ O = 90°) : A

C

1

1

1

1

1

2

OO = OC 2 − O C 2

2

= 2 − 3 = 1 (дм).

O

1

1

Відповідь. 1 дм.

Частина третя

f ′( x) = x

3 2 − x

6

3.1. f′( x) = x

3 2 − x

6 ; f ′( x) = 0 ; 3 x( x − 2) = 0 .

+

–

+

f( х)

x = 0, x = 2 .

0

2

х

Відповідь. Функція зростає на проміжках (− ∞;0] і [2; + ∞) , спадає на проміжку [0;2].

3.2. log 108 = log (27⋅4) = log

3

(3 )+log 4=3+log ;4 log 4>1;

3

3

3

3

3

3

log 375 = log 12

( 5⋅3)= log 35

( )+log 3=3+log ;3 log 3<1.

5

5

5

5

5

5

Оскільки log 4 > log 3 , то log 108 > log 375 .

3

5

3

5

Відповідь. log 108 > log 375 .

3

5

 ab = S



,

1

3.3. Нехай лінійні розміри паралелепіпеда становлять a, b, c. Тоді bc

 = S ,

2

ac = S



.

3

Перемножимо ліві та праві частини системи:

( abc)2 = S

; V = abc = S

.

1 ⋅ S 2 ⋅ S

1 ⋅ S 2 ⋅ S 3

3

Відповідь.

V = S

.

1 ⋅ S 2 ⋅ S 3

Частина четверта

4.1М. x −1 = ax + 2 .

1) x 1 ;

2)

x < 1 ;

x −1 = ax + 2 ;

− x +1 = ax + 2 ;

66 Варіант 15

x 1

( − a)= 3 ;

− x(1+ a) = 1;

3

1

x =

;

x = −

1 − a

1 + a

1

1

1

3

х

−

х

1 − a

1 + a

3

1

1;

−

< 1 ;

1 − a

1 + a

3 − 1 + a

−1 −1 − a

 0 ;

< 0 ;

1 − a

1 + a

2 + a

2 + a

 0 .

> 0 .

1 − a

1 + a

+

–

–

+

+

–

–2

1

а

–2

–1

а

3

1

Якщо a ∈[−2; )

1 , то x =

.

Якщо a ∈(−∞;−2)∪(− ;

1 +∞), то x = −

.

1 − a

1 + a

1

3

3

Відповідь. При a ∈(− ∞; − 2)∪( ;

1 + ∞) x = −

; при a ∈[−2; − )

1 x =

; при a ∈(−1; )

1 x =

,

1 + a

1 − a

1 − a

1

1

3

x = −

; при a = 1 x = −

; при a = 1 x =

.

1 + a

2

2

4.2М. log

2

( x+ x )log ( x+ y).

1

1

у

7

7

 x + x 2 >

 x 1

( + x)> 0,



0,



+

–

+

 x + y > 0,

 y > − x,

(*)

–1

0

x + x 2  x + y 

х



;

y  x 2



;

(*) виконує

.

ться

1

Геометричним образом нерівності y  x 2 є частина площини, обмежена

графіком функції y = x 2 знизу.

–1 0

1

х

4.3М. x 2 + x

2

4 + 5  cos (2 + x) ;

x 2 + x

2

4 + 4 +1  cos (2 + x) ;

( x+2)2 +1

2

 cos (2+ x).

Оскільки ( x + 2)2 +11 , 0

2

 cos (2+ x)1, то нерівність має розв’язки тільки коли:



2

(

( x+2) = 0,

 x + 2 = 0,

 x = −2,

 x + 2)2 +1 = 1, 







cos(2+ x) = 1, 2+ x = 2 n

π , n ∈ ,

Z

 x = −2 + 2 n

π , n ∈ ,

Z

x = −2 .

2

cos (2 + x) = 1; 

2 + x = π + 2 k

π , k ∈ ;

Z

x

 = −2 + π + 2 k

π , k ∈ ;

Z

cos(2 + x) = −1;

Відповідь. x = −2 .

Варіант 16 67

4.4М. ABCS — дана правильна піраміда, точка O — центр описаної

кулі, точка O належить SH — висоті піраміди.

S

Розглянемо  ASC : ∠ ASC = α , за теоремою синусів

AC = R

2 sinα , де R — радіус описаного кола. BK ⊥ AC , тоді

SK ⊥ AC за теоремою про три перпендикуляри. В  ASC

SK є висотою, медіаною та бісектрисою,

α

AC

∠ ASK =

; AK =

. AK = R sinα ,

O

2

2

α

α

B

R ⋅2sin

cos

AK

2

2

α

AC

2 R sinα

A

AS =

=

= R

2 cos

. HB =

=

.

α

α

2

H

sin

sin

3

3

K

2

2

2 R sinα

α

2sin

HB

C

Розглянемо  SHB : нехай ∠ HSB = x , тоді sin x =

=

3

=

2

SB

α

2 R cos

3 S

2 R sinα

2

α

α

2sin

4sin2

HB

1

α

1

x

sin x =

=

3

=

2 ; cos x = 1− sin2 x = 1−

2 =

3 − 4sin2

=

1 + 2cosα

SB

α

3

2 R cos

3

3

2

3

2

α

О

4sin2

1

α

1

cos x = 1 − sin2 x = 1 −

2 =

3 − 4sin2

=

1 + 2cosα .

3

3

2

3

Н

B

∠ HOB = x

2 (  SOB — рівнобедрений, ∠ OBS = ∠ OSB = x ,

∠ HOB — зовнішній).

2 R sin α

α

α

2 R 3 sin

ccos

α

R 3 cos

HB

HB

2

2

OB =

=

=

3

=

2

=

.

sin x

2

2sin x cos x

α

2 sin

α

1 2cosα

1

2 sin

1 +

+

2cosα

2⋅

2 ⋅

1 + 2cosα

2

3

3

α

α

R 3 3 3

3

cos

4 R 3

π

3

3

cos

4π

V

=

⋅

2 =

2 .

кулі

3

(1+2cosα)3

(1+2cosα)3

α

4 R 3

π

3

3

cos

Відповідь.

V

=

2 .

кулі

(1+2cosα)3

Варіант 16

Частина перша

7 10

1.1.

⋅

= 2 .

5

7

Відповідь. А).

1.2. 1+ 3 = 4 ; 1 − 3 = 2

− .

Відповідь. Б).

68 Варіант 16

2

 1 

1

1.3.  3 = .

9

Відповідь. Г).

1.4. 2:1 = 4 :2 = 8 : 4 .

Відповідь. В).

1.5. 5

2

2

(sin α+cos α)=5.

Відповідь. А).

1.6. 5log5 9 = 9 .

Відповідь. Б).

π

1.7. y′ = −sin x ; −sin

= −1 .

2

Відповідь. Б).

1

1

2

3

2

 x

x 

1

1

1

1.8. S = ( x + − x − ) dx =

−

.

2

3

2

3

6

0



 = − =

∫ 1

1

0

Відповідь. В).

5 + 7

1.9. S =

⋅3 = 18 .

2

Відповідь. Г).

1.10. AK = x

2 ; KB = x

3 ; AB = x

2 + x

3 = x

5 , тоді KB = 3 AB :5 = 6 .

Відповідь. Г).

С

B

1.11. AB = 22 + (−1− )

1 2 + (−2 + 3)2 = 3 .

Відповідь. А).

1

1

1.12. AB = 36 = 6 (см); AD = AB ; AO =

AD =

⋅6 = 3 (см).

D

2

2

Відповідь. Б).

O

A