Частина третя

3.1.

′( ) = − x − −

f x

e

xe x , f ′( x) = 0 , e− x (1− x) = 0 .

Оскільки e− x ≠ 0 , то 1 − x = 0 , x = 1 , 1 ∈[0;2] .

1

2

1

2

e − 2

1

2

f (0) = 0 , f 1

( )= , f(2)= . Знайдемо для порівняння різницю − =

> 0 , тоді >

.

e

e 2

2

2

e

e

e

2

e

e

1

Відповідь. min f ( x) = 0 , max f( x) = .

[ ;02]

[ ;02]

e

у

3.2. D( f): x ≠ 1

1

(

2

x − )

1 3

( x − )1 +1,якщо x >1,

f ( x) =

+1 = 

x − 1

−

2

1

х

 ( x − )

1 +1, якщо x < 1.

Графік побудовано.

44  Варіант10

3.3. Маємо трикутну піраміду ABCS; кути ASC, ASB, BSC дорівнюють

A

90° кожний. Покладемо піраміду на бічну грань; маємо пірамі-

ду BCSA з вершиною A і висотою AS, в основі піраміди лежить

пря мокутний трикутник BCS; SA = SB = SC = a .

B

1

1

1

V =

⋅ AS⋅ ⋅ BS⋅ CS = a 3 .

3

2

6

a 3

Відповідь.

V =

.

6

S

C

Частина четверта

4.1М. Розвяжемо рівняння графічно. Побудуємо гра-

фіки функцій y = x −1 − 4 та y = a .

у

1) y = x −1 − 4 : побудуємо y = x −1 , опусти-

y = x −1 − 4

мо графік на чотири одиниці та відобразимо

симетрично осі Ох.

x ∈(− ∞; − 3)∪( ;

5 + ∞) y = x −1 − 4 ;

1

x ∈[−3;5] y = − x −1 + 4 .

2

2) y = a — пряма, паралельна осі Ох.

–3

0

1

5

х

Якщо a < 0 , точок перетину не існує.

Якщо a = 0 , дві точки перетину — –3 та 5.

Якщо 0 < a < 4 , дві точки перетину прямої

з графіком функції y — x = 5 ± a та дві точ-

1

ки — з графіком функції y — x = −3 ± a .

2

Якщо a = 4 , три точки перетину прямої: одна з графіком функції y — x = 1 та дві —

2

з графіком функції y — x = −7 та x = 9 .

1

Якщо a > 4 , дві точки перетину прямої з графіком функції y — x = 5 ± a .

1

Відповідь: При a < 0 розв’язків немає; при a = 0 x = −3 та x = 5 ; при 0 < a < 4 x = 5 ± a , x = −3 ± a ; при a = 4 , x = 1 , x = −7 та x = 9 ; при a > 4 x = 5 + a; x = −3 − a .

 y − x 2 > 0,  y > x 2,

2





y = x +1

4.2М. ОДЗ:  y − x 2 ≠ 1,  y ≠ x 2 +1,

у

y 2 + x 2 >



0;

y = x ≠



0.

1) 0

2

< y − x < 1, тоді y 2 + x 2 4 — внутрішня частина круга

y = x 2

з центром (0;0) і радіусом 2, яка розташована між парабо-

лами y = x 2, y = x 2 +1 .

2

2) y − x 2 > 1 , тоді y 2 + x 2  4 — простір ззовні круга з центром

(0;0) і радіусом 2, обмежений параболою

y = x 2 , y = x 2 +1 .

–2

2

х

Графік побудовано.

–2

Варіант11  45

4.3

2

М. Розглянемо ліву частину рівняння: x 2 +11 , тоді 2 x +1  2 . Розглянемо праву частину рів-

няння: −1 cos x 1 , тоді −22cos x 2 . Оскільки ліва частина не менша за 2, а права — не

більша за 2, то нерівність виконується для будь-яких x; рівність досягається при x = 0 .

Відповідь. x ∈ R .

4.4М. Кутом нахилу твірної AB до більшої основи є кут BAO .

О

С

1

2

Розглянемо переріз конуса та кулі площиною, яка проходить

через вісь конуса. У перерізі маємо трапецію ABCD, в яку

B

вписаний круг. Висота трапеції є діаметром круга; AB = l.

Нехай K — точка дотику кулі до твірної AB; проведемо OK ⊥ AB ;

O

OK ⊥

є AB

радіусом кулі. Лінією, уздовж якої куля дотикається до

поверхні конуса, є коло, радіус якого перпендикулярний до осі

D

циліндра. Проведемо KM ⊥ O O , тоді KM — шуканий радіус.

α

1

2

О 1

Розглянемо чотирикутник AKOO : ∠ AKO = ∠ OO A 90 , ∠ A = α ,

1

=

°

1

A

тоді ∠ KOO

360

90

90

α 180

α . Тоді ∠ KOM = 18 °

0 − ( 1

°

80 − α) = α

1 =

° −

° −

° − =

° −

∠ KOM = 18 °

0 − (1 °

80 − α) = α .

О

B

2

C

У  KMO : KM = KO⋅ sin KO

∠

M = r sinα; l = 2π ⋅ KM = 2 r

π sinα .

Відповідь. 2π r sinα .

K

M

O

α

A

О

D

1

Варіант 11

Частина перша

1.1. 9⋅ 7

( +5⋅2)= 9⋅ 7(+10)= 9⋅17 =153 .

Відповідь. А).

 x + y

2 + ( x − y

2 ) = 6, 2 x = 6 x = ,

1.2. 

{

, { 3

x + y

2 −



( x − y

2 ) = 8; 4 y = 8; y = 2.

Відповідь. В).

1.3. b 30 b 5 b 30−5 b 25

:

=

=

.

Відповідь. Б).

46  Варіант11

5−1

 1 

 1 

1

1.4. b = 16⋅ −

16

.

6

 2 

=

⋅ −

 32  = − 2

Відповідь. Б).

2

1.5. cos405° = cos(360° + 45°) = cos45° =

.

2

Відповідь. В).

1.6. log ( x + 4) = log 1

( −2 x).

5

5

 x > −4,

x + > , 

ОДЗ: { 4 0

1 ; x + 4 = 1 − x

2 ; 3 x = 3

− ; x = −1 .

1 − x

2 > 0;  x < ;



2

Відповідь. А).

1.7. Відповідь. Г).

10

10

10

1.8. S = v( t) dt = (6 − 0, t

2 ) dt = ( t

6 − 0, t 2

1 ) = 60 −10 =

∫

∫

50 (м).

0

0

0

Відповідь. В).

B

1

K

1.9. ∠ KAC =

∠ BAC =

°

20 .

2

C

Відповідь. А).

A

2 R

π

2⋅ π ⋅6

1.10. l =

⋅α =

⋅12 °

0 = 4π .

36 °

0

36 °

0

Відповідь. В).

1

1

1.11. V =

S

(см3).

осн ⋅ H =

⋅15⋅4 = 20

3

3

Відповідь. Б).

1.12. Відповідь. Г).