Частина четверта

 x > 0,

 {



x > a,

x( x − a) > 0, 

2

 −

>





4.1

0,

 <

М. ОДЗ: x

ax



x



0,

 {

x

2



a + 3



+ a + 3 > 0; x > −

;

 x < a,





2



a + 3

x > −

.



2

x 2 − ax = x

2 + a + 3 ; x 2 − x( a + 2) − ( a + 3) = 0 ;

D = ( a + 2)2 + 4( a + 3) = a 2 + a

4 + 4 + a

4 +12 = a 2 + a

8 +16 = ( a + 4)2 .

4 3

Якщо a = −4 , то x = −1 . Перевіримо ОДЗ: − > − − +

1

— не виконується, отже, x = −1

2

не є коренем; при a = −4 немає розв’язків.

a + 2 ± ( a + 4)

 x = a + 3,

Якщо a ≠ −4 , то x =

;

2

x

 = −1.

Перевірка ОДЗ:

1) x = −1 , x < 0 , тоді повинно виконуватися x < a .

a 3

− > − +

1

, a + 3 > 2 , a > −1 . Якщо x = −1 , то x < a (адже a > −1 ).

2

a 3

2) x = a + 3 , a + > − +

3

; a + 3 > 0 , a > −3 . Тоді a + 3 > 0 , x > 0 .

2

Відповідь. При a = −4 розв’язків немає; при a ≠ −4 x = −1 або x = a + 3 .

4.2М. 1) D( y): x ≠ ±2 .

2) Функція парна, неперіодична.

3) Перетин з осями координат:

з Ox: y = 0 , x 2 ≠ 4

− — неможливо, функція не перетинає вісь Ox;

з Oy: x = 0 , y = −1 .

x 2 + 4

4) lim

;

x→

( x −2)( x +2) = ∞

2

x 2 + 4

у

lim

.

x→− ( x − 2)( x + 2) = ∞

2

Вертикальні асимптоти: x = 2 , x = −2 .

x 2 + 4

x 2 + 4

k = lim

0 , b = lim

= 1.

x

x( x − 2)( x + 2) =

→∞

x→∞ x 2 − 4

1

Горизонтальна асимптота: y = 1 .

–2 –1

1

2

0

х

–1

−16 x

у′ +

+

5) y′ = −

–

–

(

, y′ = 0 , x = 0

2

x 2 − 4)

у

–2

0

2

Функція f ( x) зростає при x ∈(−∞; − 2) , (−2;0]

Функція f ( x) спадає при x ∈[0;2) , (2; + ∞)

x

= 0 , y

= −1

max

max

Графік побудовано.

Варіант9  37



19π 



17π 



π 



π

3π

19π 

4.3М. cos π −

cos π

cos π

cos

ccos

+…+ cos



21  +

−



21  +…+

−



4  = −

+



21

21

21  =



π

π

π

3π

π

19π 

−2sin cos +2sin cos +…+2sin cos

21

21

21

21

21

21 

=

=

π

2sin 21



2π

4π

2π

20π

18π 

−sin + sin −sin +…+ sin

− sin

21

21

21

21

21 

=

=

π

2sin 21

20π



π 

π

sin

sinπ − 21

sin

1

= −

21 = −

= −

21 = − .

π

π

π

2

2sin

2sin

2sin

21

21

21

Відповідь. − 1 .

2

4.4М. Розглянемо осьовий переріз конуса; маємо рівнобедрений три-

кутник ASB, ∠ SAO = α , AS = SB = l , в який вписано півкруг;

S

точка O — середина основи трикутника — є центром півкруга.

Розглянемо трикутник ASO: SO = AS ⋅sin A = l sinα . Із  KSO :

l sin2α

OK = SO ⋅sin( °

90 − α) = SO⋅cosα = l⋅sinα ⋅cosα =

.

K

2

OK є радіусом півкулі.

2

2π l 3

3

sin 2α

l 3

3

π sin 2α

A

B

V =

R 3

π

=

⋅

=

.

O

3

3

8

12

π l 3

3

sin α

2

Відповідь.

.

12

Варіант 9

Частина перша

1.1. Відповідь. Г).

2

2

 x



x 

x

2

2

x

1.2.

− 0,4 y

2

0,4 y

0,4 y

0, x

4 y 0 16

,

y 2 .

 2

 =  2  − ⋅ ⋅

+ (

) = −

+

2

4

Відповідь. Г).

7 a

3 a

4 a

a

1.3.

−

=

=

.

4 b

4 b

4 b

b

Відповідь. Б).

1.4. ( x − 3)( x + 3) > 0 .

+

–

+

Відповідь. Б).

–3

3

х

38  Варіант9

1.5. sin x = − 1 ;

2

 1 

x

n

= (− )

1 arcsin −

k

π , k ∈ Z ;

 2  +

x

n

= (− ) +

1 1

1

arcsin

+ k

π , k ∈ Z ;

2

π

x

n

= (− ) +

1 1

+ k

π , k ∈ Z .

6

Відповідь. В).

(

)

1.6. 52− 3 :53− 3

52− 3 − 3− 3

5 1

1

−

=

=

=

.

5

Відповідь. В).

3

1

1.7. P( A) = = .

6

2

Відповідь. Б).



1

4



x

1.8.

4 3

x −

dx 4

4

x

C x

x

C



x 

= ⋅

−

+ =

−

+

∫

ln

ln

.

4

Відповідь. А).

−2 + 6

4 + 8

1.9. x =

= 2 , y =

= 6 .

с

2

с

2

Відповідь. Б).

A B

B C

B C

15

3

1.10.  ABC   A B C

1

1

1

1

⇒

=

; 1 1 =

=

= 3:1 .

1

1 1

AB

BC

BC

5

1

Відповідь. Г).

С

1.11. Відповідь. В).

О 1

B

1.12. α =

°

45 , AO = R , DC = H .

 ADC (∠ D = °

90 ) — рівнобедрений з гіпотенузою 8 2 см, отже,

AD = DC = 8 см;

1

R =

AD = 4 см; H = 8 см.

2

D

S

= S

2

+ S = 2⋅ R 2 + 2 R ⋅ H = 2⋅ ⋅42

π

π

π

+ 2⋅π ⋅4⋅8 = 96π (см2).

пов

осн

біч

α

Відповідь. А).

O

A