6. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р_A (В) = Р (В). (*)

Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего параграфа, получим

Р (A) Р (В) = Р (В) Р_B (A).

Отсюда

Р_B (A) = Р (A),

т. е. условная вероятность события A в предположении что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события В.

Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что   с в о й с т в о   н е з а в и с и м о с т и   с о б ы т и й   в з а и м н о.

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) Р_A (В) имеет вид

Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**)

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (**) принимают в качестве определения независимых событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или простонезависимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события A₁, A₂, А₃, независимы в совокупности, то независимы события A₁ и А₂, А₁ и А₃, А₂ и A₃; А₁ и A₂A₃, A₂ и A₁A₃, А₃ и A₁A₂. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Приведем теперь следствие из теоремы умножения.

С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р (А₁А₂ ... А_n) = Р (А₁) Р (А₂) ... Р (А_n).

Доказательство

З а м е ч а н и е. Если события А₁, А₂, ..., А_n независимы в совокупности, то и противоположные им события

также независимы в совокупности.

7. Сумма событий. Совместные и несовместные события. Теоремы сложения вероятностей.

8. Следствия из теорем сложения и умножения вероятностей:

9. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу;

10. Вероятность противоположного события; вероятность осуществления только одного события; вероятность осуществления хотя бы одного события;

11. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

12. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

13. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.

14. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события.

15. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

16. Формула Пуассона для редких событий.

17. Дискретные и непрерывные случайные величины.

18. Закон распределения вероятностей св.

19. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

20. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной св.

21. Определение функции распределения и ее свойства.

22. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

23. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.

24. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной св.

25. Моменты св., коэффициенты асимметрии и эксцесса. Мода, медиана.

26. Корреляционный момент. Коэффициент корреляций.

27. Функция распределения вероятностей.

28. Числовые характеристики системы двух непрерывных св.

29. Условные законы распределения составляющих. Функция случайных аргументов.

30. Функция случайных аргументов

31. Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики.

32. Неравенство Чебышева.

33. Теорема Чебышева (закон больших чисел).

34. Теорема Бернулли.

35. Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова).

36. Классификация точечных оценок.

37. Генеральная совокупность и выборка. Интервальные и безинтервальные вариационные ряды. Графическое изображение вариационных рядов: полигон, гистограмма, кумулята, огива, эмпирическая функция распределения.

38. Числовые характеристики выборки и методы их расчета переходом к условным вариантам.

39. Эффективные, несмещенные и состоятельные оценки генеральных параметров по выборочным данным:

40. Точечная оценка генеральной средней по выборочной средней;

41. Точечная оценка генеральной дисперсии по выборочной дисперсии;

42. Исправленная дисперсия.

43. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Надежность. Доверительный интервал оценки параметров нормального распределения.

44. Критерии согласия. Критерий согласия Пирсона. Критерии согласия Романовского, Колмогорова.

45. Элементы корреляционного анализа. Линейная корреляция. Уравнения прямых линий регрессии. Коэффициент корреляции. Оценка коэффициента корреляции по выборочным данным.

46. Определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Формула для вычисления коэффициента корреляции.