2. Характеристика центру розподілу.
Центром тяжіння будь-якої статистичної сукупності є типовий рівень ознаки, узагальнююча характеристика всього розмаїття її індивідуальних значень. Такою характеристикою є середня величина.
Окрім типового рівня важливе значення має домінанта, тобто найбільш поширене значення ознаки. Таке значення називають модою.
Модою називається величина ознаки (варіанта), яка найчастіше зустрічається в даній сукупності.
У дискретному ряду моду визначають безпосередньо за найбільшою частотою (часткою).
В інтервальному ряду за тим самим принципом визначається модальний інтервал, а потім конкретне модальне значення в середині інтервалу обчислюється за інтерполяційною формулою:
,
де х0 – нижня межа модального інтервалу;
іМО – ширина модального інтервалу;
fМО – частота модального інтервалу;
fМО-1 – частота передмодального інтервалу;
fМО+1 – частота післямодального інтервалу.
Характеристикою центра розподілу вважається також медіана – значення ознаки, яка припадає на середину впорядкованого ряду, поділяє його навпіл – на два рівні за обсягом частини.
Щоб знайти медіану в дискретному варіаційному ряду, потрібно спочатку розташувати всі варіанти в зростаючому або спадаючому порядку. Потім визначити номер медіани, який вкаже на її розташування в рангованому ряді за формулою:
Щоб визначити медіану інтервального варіаційного ряду спочатку, за допомогою нагромаджених частот, потрібно знайти інтервал, що містить медіану. Значення медіани в середині інтервалу, як і значення моди, обчислюють за інтерполяційною формулою:
,
де х0 – нижня межа медіанного інтервалу;
іМе – ширина медіанного інтервалу;
fМе – частота модального інтервалу;
SМе-1 – кумулятивна частота передмедіанного інтервалу.
Медіана, як і мода, не залежить від крайніх значень ознаки; сума модулів відхилень варіант від медіани мінімальна, тобто вона має властивість лінійного мінімуму:
Окрім моди і медіани, в аналізі закономірностей розподілу використовуються також квартилі та децилі. Квартилі – це варіанти, які поділяють обсяги сукупності на чотири рівні частини, децилі – на десять рівних частин. Ці характеристики визначаються на основі кумулятивних частот (часток) за аналогією з медіаною, яка є другим кварти лем або п’ятим децилем.
3. Статистична оцінка варіації.
Варіацією в статистиці називаються коливання ознаки в одиниць сукупності, а показники, що характеризують ці коливання називаються показниками варіації. Вони показують як розміщуються навколо середньої окремі значення осереднюваної ознаки.
Для вимірювання варіації у статистиці використовують такі показники як: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середній квадрат відхилення (дисперсія), середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації.
Розмах варіації (R) являє собою різницю між найбільшим і найменшим значенням ознаки:
де Хmax – максимальне значення ознаки;
Хmin – мінімальне значення ознаки.
Середнє лінійне відхилення (d) являє собою середню арифметичну з абсолютних значень відхилень окремих варіантів від середньої арифметичної.
Середнє лінійне відхилення – величина іменована і визначається за формулами:
а) середнє лінійне відхилення просте
б) середнє лінійне відхилення зважене
Середній
квадрат
відхилення
або
дисперсія
(
)
визначається
як
середня
арифметична
з
квадратів
відхилень
окремих
варіантів
від
їх
середньої.
В залежності від вихідних даних, дисперсію обчислюють за формулами:
а) дисперсія проста:
б) дисперсія зважена:
Обчислення дисперсії пов’язано з великими і складними розрахунками, які потребують значних затрат часу і праці.
Однак, їх можна значно спростити, якщо використати деякі математичні властивості дисперсії.
1. Якщо всі варіанти ознаки (Х) зменшити на довільну величину (А), то дисперсія від цього не зміниться.
2. Якщо всі значення варіантів (Х) зменшити в (і) раз, то дисперсія зменшиться в (і2) раз, а середнє квадратичне відхилення – в (і) раз.
3.
Якщо обчислити середній квадрат відхилень
від любої величини «А», яка в тій чи
іншій мірі відрізняється від середньої
арифметичної (
),
то він завжди буде більший за середній
квадрат відхилень, обчислений від
середньої арифметичної, на квадрат
різниці між середньою і цією умовно
взятою величиною, тобто на (X–А)2.
Середнє квадратичне відхилення (σ), являє собою корінь квадратичний з дисперсії.
Воно визначається за формулами:
а) середнє квадратичне відхилення просте:
б) середнє квадратичне відхилення зважене:
.
Середнє квадратичне відхилення називають стандартним відхиленням. Воно як і середнє лінійне відхилення, є іменованою величиною. Середнє квадратичне відхилення використовують при оцінці тісноти зв’язку між явищами, при обчисленні помилок вибіркового спостереження, дослідженні рядів розподілу та ін.
Для
нормального або близького до нормального
розподілу між середнім квадратичним і
лінійним відхиленнями встановлено таке
співвідношення:
.
Середнє квадратичне відхилення не завжди зручне для використання, тому що воно не дозволяє порівнювати між собою середні квадратичні відхилення у варіаційних рядах, варіанти яких виражені у різних одиниць виміру.
Щоб мати можливість порівнювати середні квадратичні відхилення різних варіаційних рядів, потрібно перейти від абсолютних до відносних показників варіації.
До числа відносних показників відносять коефіцієнти варіації:
а) лінійний:
б) квадратичний:
в) осциляції:
Якщо центр розподілу поданий медіаною, то за відносну міру варіації беруть квартильний коефіцієнт варіації:
Для оцінювання ступеня варіації застосовують також співвідношення децилів. Так, коефіцієнт децильної диференціації показує кратність співвідношення дев’ятого та першого децилів:
