Условный экстремум.

Пусть требуется найти максимум и минимум функции z = f (x,y ) при условии , что x и y связаны уравнением

Здесь мы имеем задачу на условный экстремум, то есть переменные связаны некоторым условием. Уравнение называется уравнением связи.

Составляем функцию L(x,y, = f (x, y) + ( , которая называется функцией Лагранжа.

Записываем необходимые условия экстремума для этой функции

Достаточные условия будем использовать такого вида:

Если, d²L (x₀ ,y₀, ₀ ) > 0 то - min, если d²L (x₀ ,y₀, ₀ ) < 0 , то max .

Напомним , что d² L = значения dx и dy зависят от уравнения связи.

Пример. Найти экстремум функции z = x y , если 2x + 3y -5 = 0 .

Решение. L(x,y, = x y +

Решаем эту систему : y = -2 ; x = - 3 ; подставляем в

третье уравнение -6 - 6 - 5 = 0 , отсюда = - , x = , y = . Проверим достаточные условия , . = 0 + 2dxdy + 0 = 2 .

Из уравнения связи находим 2x = 5 – 3y , дифференцируем 2dx = - 3dy отсюда

dy = - , < 0 , значит функция имеет максимум в точке ( при заданном уравнении связи или на заданной прямой.

Метод наименьших квадратов

Пусть в результате опыта получена таблица значений функции y для ряда

x		x2	x3	…xn
y	y1	y2	y3	…yn

значений x

35

П редположим, что точки М₁ (x₁ ,y₁ ) , M₂ (x₂ ,y₂ )………M_n (x_n ,y_n ) лежат на одной прямой . Это означает , что зависимость между x и y близка к линейной Y = . y

y_n

y₃

y₂

y₁

0 x₁ x₂ x₃ x_n x

Подберём неизвестные коэффициенты и b так, чтобы прямая Y = лежала по возможности ближе к каждой из нанесённых точек. Назовём отклонением в точке x_i , разность Y_i – y_j , где Y_i = x_i + b , а y_i – значения функции в точках x_i .Сущность метода наименьших квадратов заключается в том , что искомую прямую Y = x + b выбирают таким образом , чтобы сумма квадратов отклонений Y_i – y_i была бы наименьшей , то есть или была наименьшей . Так как x_i и y_i = const из таблицы , то эта сумма есть функция параметров и b . Ф( = .

Воспользуемся необходимым условием экстремума функции.

Из этой системы находим . Систему перепишем в виде

Эти уравнения единственным образом определяют и b . Покажем, что функция достигает при таких и b min.

Проверим достаточные условия

; ; ; экстремум есть, так как то min. Если опытные данные таковы, что при построении графика они примерно располагаются по квадратной параболе Y = то для нахождения коэффициентов нужно найти min выражения

Нахождение минимума функции 3-х переменных сводится к решению системы 3-х уравнений первой степени:

36

Из этой системы находят ,b,c.

Пример. Построить интерполяционную функцию по методу наименьших квадратов по следующим данным

x	2	4	6	8
y	0,35	0,572	0,725	0,947

Решение. Здесь n = 4 ,применим линейную интерполяцию , то есть предположим , что точки лежат на прямой y = x + b , для нахождения параметров и b составляем систему

, подставляем в неё данные из таблицы

упрощаем эту систему , , отсюда 5 + b = ;

или b .

Ответ : y = 0,077x + 0,258.

ЛЕКЦИЯ 12. Понятие скалярного поля. Линии и поверхности уровня.

Производная по направлению, градиент

Понятие скалярного поля. Линии и поверхности уровня

Определение.Часть пространства ( или всё пространство), каждой точке Р ко- торого соответствует численное значение некоторой скалярной величины U,

называется скалярным полем. ( Поле температур нагретого тела, поле давлений воздуха в атмосфере, поле плотности вещества в теле и т.д.).

Предполагаем, что скалярная величина U не зависит от времени , а только от положения точки Р в пространстве , то есть функция U зависит от x,y,z.

U – функция поля . U = F ( P) = F ( x,y,z ).

Обратно всякая функция 3-х переменных U = F ( x,y,z ) задаёт скалярное поле. Геометрически скалярные поля часто изображают с помощью поверхностей уровня.

Определение. Поверхностью уровня ( или эквипотенциальной поверхностью) скалярного поля называется множество точек пространства, в котором функция поля U = F (x,y,z ) имеет одно и тоже значение С.

Уравнение поверхности уровня имеет вид F ( x,y,z ) = C.

Пример. Пусть поле задано функцией U = x² + y² +z² , тогда поверхности

37

уровня

x ² + y² + z² = C при С >0 это множество сфер с центром в начале координат рис.1. z

z

0 y 0 y

x

X рис. 1 рис.2

Пример. Поле задано функцией U = x² +y² – z , то поверхности уровня - параболоиды x² +y² – z = C рис. 2

Если скалярное поле является полем распространения температур , то поверхности уровня – изотермические поверхности , на каждой из которых температура постоянна.

Плоские скалярные поля задаются функцией вида z = f (x,y ) . Плоские поля задаются линиями уровня.

Определение. Линии уровня – это множество точек плоскости, в которых функция скалярного поля имеет вид f(x,y) = C= const.

Известные из физики изотермы ( линии равных температур ), изобары ( линии равного давления ), эквипотенциальные линии ( линии равного потенциала ) являются примерами линий уровня в различных плоских физических скалярных полях.

Пример.Найти линии уровня скалярного поля, заданного функцией z = x² – y².

Решение. Уравнение линий уровня имеет вид x² – y² = c . Если с=0 , то это прямые (x-y)(x+y)=0 . Если с >0 , то это гиперболы, рис 1.

Y y

0 x x

Рис 1. Рис 2.

Пример. Найти линии уровня поля f(p) =

Решение. Уравнение линий уровня - это эллипсы, рис 2.