Применение полного дифференциала в приближённых вычислениях

Пусть функция z= f(x,y) дифференцируема в точке М₀ (x_{0 ,}y₀ ) , найдём

, (1)

отсюда = f(x,y)+ , (2)

но dz где dz = . (3)

Формулы (2),(3) подставляем в (1)

25

Эта формула верна с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно

Задача. Вычислить объём материала нужного для изготовления цилиндрического стакана следующих размеров: радиус внутреннего цилиндра R ; высота

внутреннего цилиндра H ; толщина стенок и дна стакана K.

Р ешение. Обозначим через f объём внутреннего цилиндра , тогда f = 2-х переменных R и H. Если увеличим R и H на K , то функция получит приращение это и будет искомый объём , то есть

= dz или , но так как

R H = 2 = = =K , то

K

Пример. Вычислить приближённо с помощью полного дифференциала .

Решение.Рассмотрим функцию f(x,y)= используя формулу (4), положив в ней x₀+ ; x₀ =2 ; y₀ =1 ; , и вычислив частные производные функции в точке (x₀,y₀), то есть

_x = _2,1 = ; ’_y = _2,1 = 1 , можем записать

Производные сложных функций

Пусть задана функция z = f(x,y) , причём , тогда функция z есть сложная функция одной независимой переменной t и 2-х промежуточных аргументов x и y. Найдём производную этой сложной функции , зная частные производные ,а также . Предполагаем , что x, y , z - дифференцируемые функции. Пусть независимая переменная t получит приращение , тогда и тоже получат приращение , можно представить

(1)

Разделим (1) на и перейдём к пределу, получим :

26

(2)

Можно показать , что = 0 и равенство (2) примет вид

(3)

Правило. Производная сложной функции по независимому аргументу равна:

частной производной функции по первому промежуточному аргументу, умноженному на производную промежуточного аргумента по независимому плюс частная производная функции по второму промежуточному аргументу , умноженному на производную второго промежуточного аргумента по независимому.

Пример. Найти если .

Решение. Используя формулу (3) , получаем :

cost + .

. Пусть z = f(x,y) , если y = y(x) . Здесь z есть функция одной переменной x , y – промежуточный аргумент, но и x тоже можно считать промежуточным аргументом , поэтому можно применить формулу (3) , положив в ней вместо t переменную x .

, окончательно (4)

=1

. Пусть z = f(x,y) , причём x = x(u,v) , y = y(u,v). Найдём частные производные и . Следуя правилу , получим

(5)

Пример. Дана функция z = , где u = , v = . Найти , .

Решение. Здесь u и v - промежуточные аргументы , а x , y – независимые, поэтому формулы (5) перепишем .

+ = 2y

ЛЕКЦИЯ 9 .Инвариантностьформы полного дифференциала.

Неявные функции и их дифференцирование.Геометрический

смысл полного дифференциала функции двух аргументов. Каса-

тельная плоскость и нормаль к поверхности

Инвариантность формы полного дифференциала

Пусть задана функция z =f(x,y). Известно , что dz = ,

27

покажем , что эта форма сохраняется , когда .

Доказательство. Так как u, v независимые переменные ,то dz = .

И спользуя правила дифференцирования сложной функции ,получаем dz = du + = = ч.т.д.

dx dy

Неявные функции и их дифференцирование

Пусть F(x,y,z) = 0 , где z – функция от x, y.Найдём z’_x и z’_y . Зафиксируем y = const, тогда F(x,y,z(x,y)) = 0, дифференцируем по правилам сложной функции F’_{x x} + F’_z z’_x = 0

Теперь x = const. F’_{y y}+ F’_z z’_y = 0

Пример. Найти частные производные первого порядка функции z по переменным x и y , если функция задана неявно

Решение. Обозначим F(x,y,z) = , тогда F’_x = 2xy ; F’_y = x² ; F’_z = . Подставляем в формулы .

Геометрический смысл полного дифференциала.

Функции двух аргументов

Пусть задана функция z = f(x,y) и точка x= x₀ ,y = y₀ . Графиком этой функции является поверхность T_x

Z Рассмотрим сечение этой поверх-

ности плоскостями y=y₀ и x =x₀ .

M₀ M₀T_x и M₀T_y – касательные к ли-

T_y ниям пересечения поверхности

с плоскостями x= x₀ ,y = y₀ .

y Прямая M₀T_x лежит в плоскости

0 y = y₀ параллельной плоскости

OXZ и является касательной в

точке М₀ её уравнение имеет

x вид:

z-z₀ = f’_x (x₀ ,y₀) (x – x₀ ) , y = y₀ .

Аналогично уравнение касательной М₀ Т_y z – z₀ = f’_y (x₀ ,y₀ ) (y-y₀), x = x₀ .

Эти прямые лежат в касательной плоскости , уравнение которой можно записать в виде z – z₀ = A (x – x₀) + B (y – y₀ ) , определим А и В . Уравнение каса-

28

тельной М₀ Т_x y = y₀ , подставим в уравнение касательной плоскости , получим:

отсюда A = , аналогично получим , что В = , уравнение касательной плоскости примет вид:

z-z₀ = )

z – z₀ = , поэтому z – z₀

x=x₀,y=y₀

Вывод. Полный дифференциал функции z = f(x,y) при x=x₀ ,y=y₀ изображает приращение аппликаты точки касательной плоскости, проведённой к поверхности z = f(x,y) в точку М₀ (x₀ ,y₀ ,z₀).

z M

z-z₀

M₀

0

y

x

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Определение. Нормаль это прямая,перпендикулярная касательной плоскости, проведённая в точку касания М₀ (x₀ ,y₀ ,z₀).

M₀

1) Если функция задана явно z = f (x,y) , то уравнение касательной плоскости имеет вид:

Уравнение нормали:

29

2) Если функция задана неявно F( x,y,z) = 0 , то f’_x (x₀ ,y₀ ) = - ;

f’_y (x₀ ,y₀ ) = - ; подставим в уравнение касательной плоскости , получим z – z₀ = - (x –x_o) - ( y – y₀ ) , окончательно получим :

уравнение касательной плоскости.

уравнение нормали.

Пример. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности x²+y²+z² = 6 в точке М₀ ( 1,2,1 ).

Решение. Сначала проверим лежит ли точка на поверхности , для этого подставим координаты точки в уравнение поверхности 1 +4 +1 = 6 , точка лежит на поверхности. Поверхность задана неявно F (x,y,z) = x²+y²+z² – 6 = 0.

= 2 ; = 4 ; = 2 ,

M₀ M₀ M₀

2(x-x₀ )+ 4 (y – y₀ )+2 (z – z₀ ) = 0 или x +2y + z -6 =0 – касательная плоскость.

= = или = = - нормаль.

ЛЕКЦИЯ 10. Частные производные высших порядков.

Дифференциалы высших порядков. Экстремум функции

двух переменных

Частные производные высших порядков.

Пусть z = f (x,y). f’_x (x,y) ; f’_y (x,y) это функции и их можно снова дифференцировать. f’’_xx (x,y); f’’’_xxx (x,y); _xy ; ;

В общем виде можно записать : читается так: частная производная от функции z , взятая по переменной x p –раз и по переменной y-( n-p) раз.

Пример. Вычислить все производные 2-го порядка от функции f(x,y) = x²y+y³.

Решение. ; ; ; .

Видим , что смешанные производные = равны между собой и это не случайно.

Теорема. Если функция z = f (x,y) и её частные производные f’_x , f’_y , f’’_xy ,f’’_yx, определены и непрерывны в точке М ( x,y) , то в этой точке .

Без доказательства.

30

Пример. Доказать , что = , если z = .

Решение. = )

)+ x=

= + )). Ч.т.д.