Частные производные
Определение. Частной производной по x от функции z = f(x,y) называется
предел
отношения частного приращения
к приращению
при
23
Обозначается
:
; f’x(x,y)
;
;
.
Аналогично,
частная производная по y
от функции z = f(x,y)
определяется как предел отношения
частного приращения функции
к приращению
при стремлении
к 0. Обозначается : z ‘y
; f’y
;
;
.
.
Вывод. Частная производная по x от функции z = f(x,y) называется производная, вычисленная в предположении, что y постоянная, а частная производная по y от функции z = f(x,y) называется производная, вычисленная в предположении, что x постоянная.
Правила вычисления частных производных такие же как правила дифференцирования для сложной функции одного аргумента.
Пример1. Найти частные производные функции z = x2siny.
Решение. = 2xsiny. = x2cosy.
Пример
2. Найти частные производные функции
z =
.
Решение.
= y xy-1
.
= xy
.
Геометрический смысл частных производных функции
двух переменных
Пусть имеем функцию z = f(x) , график её – поверхность s .
Z
M0
(x0 ,y0
,z0 )
M0
S Рассечём
поверхность S плоскостью
Y=y0 ,линия пересечения поверхности и
P плоскости - РМ0 на этой кривой функция
Z
= f(x,y0
) – функция одной переменной.
Согласно геометрическому смыслу произ-
0 y0 y водной функции одной перемен-
P0
ной
= tg
, где
угол с
осью 0x
и касательной , проведённой к
x линии PS в точке М0 . С другой стороны
= = tg .
x=x0 p0
Вывод. Значение частной производной в точке Р0 (x0 ,y0) равно тангенсу угла ,образованного с осью ox касательной , проведённой в точку М0 (x0 ,y0 ,z0) к линии пересечения поверхности S и плоскости y = y0 .
Аналогично выясняется геометрический смысл частной производной .
24
ЛЕКЦИЯ 8. Полный дифференциал функции двух переменных.
Производные сложных функций
Полный дифференциал функции
Определение.Функция z= f(x,y) называется дифференцируемой в точке Р(x,y),
если её полное приращение можно представить в виде
z=
A
+B
+
, (1)
где
- бесконечно малая более высокого порядка
чем
=
- расстояние между точками P(x,y)
и P (x+
, нелинейная относительно
, а A
+B
- главная часть , линейная относительно
.
Определение.
Главная часть приращения функции z
= f(x,y)
, линейная относительно
и
, называется полным дифференциалом
функции и обозначается dz
= A
+ B d
, так как
Теорема.
Если функция z = f(x,y)
в точке Р (x,y)
дифференцируема , то она имеет в точке
Р(x,y) первые
частные производные
,
, причём
=А ,
= В, то есть
Без доказательства.
Из
определения следует
26
Замечание.
Если функция w = f(
x,y,z,u,
……..t) , то dw=
Пример.
Найти полный дифференциал функции z=
.
Решение. Найдём сначала частные производные функции
2sin(x+y)
cos(x+y) =
2y
+sin2(x+y)].
Ответ.
dz =
{
2y
+sin2(x+y)]dy }