Определение. Множество пар (X,y) значений X и y, при которых определяет
ся функция z = f (x,y), называется областью определения или областью существования этой функции.
Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений x и y изображать точкой M(x,y) в плоскости oxy , то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости.Эта совокупность и есть область определения функции обозначим её D.
19
S
0 y
D
.
.M
x
Линия,ограничивающая данную область называется границей области. Точки области,не лежащие на границе, называются внутренними точками области . Область , состоящая из одних внутренних точек , называется открытой или незамкнутой . Если же к области относятся и точки границы,то область называ-ется замкнутой . Область называется ограниченной , если существует такое постоянное С , что расстояние любой точки М области от начала коор-
динат
меньше С, то есть
<
C.
Пример
1. Определить область существования
функции z =
.
Решение.
Чтобы z имело
действительное значение, нужно, чтобы
под корнем стояло неотрицательное
число, то есть x и y
должны удовлетворять неравенству 1 -
или
на плоскости это круг – замкнутая
область , рисунок 1.
Пример
2. Определить область существования
функции z =
Р ешение. Логарифмы существуют только для положительных значений, поэтому x+y>0 или y > -x - открытая область , так как граница не принадлежит области рисунок 2.
y
y
x 0 x
Рис.1 Рис.2
Замечание. Чтобы проверить правильность результата надо подставить координаты произвольной точки из области существования в соответствующие неравенства.
Способы задания функции
1. Аналитический, с помощью формул, как в примере 1 и 2.
20
2. Табличный.
x y 0 1 2 3 4 5 Здесь z – значение относительной
влажности в зависимости от тем-
0 100 81 63 45 28 22 пературы x в градусах и разности
1 100 83 65 48 32 30 y сухого и влажного термомет- 2 2 100 84 68 51 35 28 ров. Пусть x = 3; y = 2, тогда z =
3 100 84
54 39 29 69.
4 100 85 70 56 42 35
График функции двух переменных
Определение. Графиком функции двух переменных z = f(x,y) в д.с.к. является поверхность . Это геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению F(x,y,z) = 0 или z = f(x,y).
Примерами графиков функции двух переменных являются цилиндры , конические поверхности, параболоиды, гиперболоиды, эллипсоиды.
Предел функции двух переменных
Пусть дана функция z = f (x,y) , определённая в некоторой области D плоскости oxy. Рассмотрим некоторую определённую точку М0 (x0 ,y0), не лежащую на её границе.
Определение.
Окрестностью радиуса r
точкиМ0 (x0
,y0 ) называется
совокупность точек М (x,y)
, удовлетворяющих неравенству
то есть совокупность всех точек , лежащих
внутри круга радиуса r
с центром в точке М0 (x0
,y0 ) , ( x
– x0 )2
+ ( y- y0
)2 < r2
.
y
0 x
Определение.
Число А называется пределом функции
f(x,y)
при стремлении точки М (x,y)
к точке М0 (x0
,y0 ) , если для каждого
малого числа
найдётся такое число r>0
, что для всех точек М (x,y)
, для которых выполняется неравенство
ММ0 < r , имеет место
неравенство
.
Записывается это так
Короче
в символах это определение можно записать
так: число А называется пределом функции
z = f (x,y)
при М (x,y)
(x0
,y0 ) , если
, для которых ММ0 < r,
.
21
Пример.
Вычислить предел
.
Р
ешение.
Обозначим x2 +y2
=
, тогда при x
.
Подставим
=
2.
Определение. Функция z = f (x,y) называется непрерывной в точке М0 (x0 ,y0 ) , если имеет место равенство
(1)
В
равенстве (1) обозначим x
= x0 +
; y = y0
+
, то (1) можно переписать так
, окончательно
Вывод. Бесконечному малому приращению аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение. Функция, непрерывная в каждой точке области D , называется непрерывной в области.
Если в некоторой точке N0 (x0 ,y0 )не выполняется условие (1), то точка N0 (x0
,y0)
называется точкой разрыва функции z
= f (x,y).
Например 1). Z =
, точка (0,0) – точка разрыва. 2). Z
=
, 2x+y+1 =0 –
целая прямая точек разрыва.
Свойства непрерывных функций
1. Если функции z1 ,z2 непрерывны в точке Р0 , то в этой точке непрерывны и их сумма , произведение , частное.
2.
Если функция f (x,y)
определена и непрерывна в замкнутой и
ограниченной области D ,
то в D найдётся по крайней
мере одна точка N(x0
,y0 ) такая , что
М(x,y)
выполняется условие f(x0
,y0)
f(x,y)
и , по крайней мере, одна точка
,
,
что f (
.
Значение
f(x0,y0)
= M называется наибольшим
значением функции в области D
, а f(
)
= m называется наименьшим
значением функции в D .
3.Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области D и принимает , как положительные , так и отрицательные значения , то внутри области найдутся точки , в которых функция f(x,y) обращается в ноль.
Частное и полное приращение функции z = f (x,y)
Рассмотрим
линию PS пересечения
поверхности z =f
(x,y) с
плоскостью y = сonst,
параллельной плоскости OXZ.
Так как в этой плоскости y
сохраняет постоянное значение, то z
вдоль кривой PS ,будет
меняться только в зависимости от
изменения x . Дадим
независимой переменной приращение
тогда
z получит приращение ,
называемое частным приращением z
по x
22
и
обозначается
z
p
f(x,y)
0 y
Отрезок РР1
=
x
Если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение, то z получает приращение, называемое частным приращением по y.
x = const
S=z(x,y)
M
Отрезок
МТ1
=
T1
0 y
X
Если
сообщить аргументу x
, y
, то получим полное приращение
z
Р
Р1
PP1
=
0 y
x
Надо
заметить, что
Это видно из рисунков. Подтвердим
аналитически.
Пример. Записать частные и полное приращения функции z = xy.
Решение.
;
;
.