Лекция 6. Конечные разности. Интерполяционная формула Ньютона
Исаак
Ньютон (1643 – 1727) родился в семье фермера
в Вулсторпе близ Кембриджа. В 1665 году
окончил Кембриджский университет , в
1668 году получил учёную степень магистра.
С 1669 по 1701 годы возглавлял кафедру . С
1672 – член Лондонского королевского
научного общества , с 1703 – его президент
. Основными направлениями научной
деятельности Нбютона были физика,
механика, астрономия и математика. В
этих областях им были достигнуты
выдающиеся достижения: вывод и формулировка
основных законов классической механики,
открытие закона всемирного тяготения,
законов спектрального разложения света
и разработка дифференциального и
интегрального исчисления методом
флюксий. Все флюенты Ньютона – это
зависимые переменные с общим аргументом
– абстрагированным временем (
равномерно текущей независимой
величиной), а флюксии (производные) –
скорости. Если y – флюенты,
то
….,y(n)
- флюксии соответственно первого,
второго , n – го порядка.
Конечные разности
Пусть известны значения функции y = f(x) при значениях аргумента, разность между двумя соседними аргументами равна h , такие значения аргументов называются равноотстоящими узлами.
Определение.
Величины y1 –y0
= f(x1)
– --f(x0)
=
;
Y2 – y1
= f(x2)
– f(x1)
=
;
yn –
yn-1
= f(xn
)-f(xn-1)
=
называются
конечными разностями 1-го порядка.
Разности
=
;
;….
-
называются
конечными разностями 2-го порядка,
обобщая порядок, запишем разности р-го
порядка :
, k=0,1,2…n.
Обычно, для записи разностей пользуются таблицей
x
y
x0 y0
x1 =x0+h y1
x2=x0+2h
y2
x3
=x0+3h
y3
x4=x0+4h
y4
x5=x0+5h
y5
x6=x0+6h y6
16
Интерполяционная формула Ньютона
Пусть заданы равноотстоящие узлы x0 ,x0 +h, x0 +2h , …..x0 +nh и значения не
которой функции в этих узлах y0 ,y1 , y2 ,…yn .Ньютон предложил находить многочлен Pn (x) в виде
Pn(x)=A0 + A1(x-x0)+A2(x-x0 )(x-x1)+A3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+..An(x-x0)(x-x1)(x-x2)..(x-xn-1)(1)
при условии Pn (xi) = f (xi ) ( i = 0,1,2, …..) (2)
Подставим в (1) x = x0 , найдём коэффициент А0 . Pn(x0) = y0 = A0 . A0 = y0 .
x
= x1
, Pn
(x1) =
y1 =
A0 +A1
h = y0
+A1 h
A1 =
x=x2 , Pn (x2 ) = y2 = A0 +A1 (x2 –x0 )+A2 (x2 –x0 )(x2 –x1 ) = A0 +A1 2h+A2 2h h =
=
y0 +
y2
–y0
-
A2
2
(y2-y1)+(y1-y0)-
2
y0 =
=
A2 2
отсюда A2 =
=
=
, аналогично можно получить при x
= x3 A3
=
…… Ak
, эти коэффициенты подставим в (1)
Pn
(x) = y0
+
+
+….+
. В этой формуле положим
, Pn
(x) = y0
+
+
.
Это 1-я интерполяционная формула
Ньютона в начале таблицы. Предположим
, что для некоторой функции y
= f(x) разности
n-го порядка постоянны.
Это значит , что на некотором отрезке
функция y = f(x)
как многочлен n- ой степени
. Заменим эту функцию многочленом мы
получим приближённое равенство f(x)
Pn
(x) = y0
+
;Rn(x)
= f(x) – Pn
(x). Rn
(x)
Пример. В таблице заданы значения функции Ф(x). Найти значения этой функции при x = 0,75.
X y
0,7 0,2580
0,0301
0,8 0,2881 -0,0023
0,0278 -0,0001
0,9 0,3159 -0,0024
0,0254 0
1,0 0,3413 -0,0024
0,0230 0
1,1 0,3643 -0,0024
0,0206
1,2 0,3849
17
Так как значение x = 0,75 находится в начале таблицы , то применим 1-ю интерполяционную формулу Ньютона, к тому же узлы равноотстоящие.
Pn
(x)
Ф(x) = y0
+
x0
=0,7 ; y0 = 0,2580 ;
h = 0,1; t =
=
0,5 . Подставим в формулу
Ф(0,75)
= P2 (0,75) = 0,2580 +
+ 0,0151 + 0,0003 = 0,2734.
Погрешность
R2(x)
Численное дифференцирование
Задача численного дифференцирования заключается в следующем :
дана таблица значений некоторой функции f(x) , требуется найти значение её производной в некоторой точке. Суть метода состоит в том , что функция f(x) заменяется интерполяционной формулой Лагранжа , если узлы не равноотстоящие , или Ньютона , если узлы равноотстоящие.
Пусть f(x) заменена формулой Ньютона.
f(x)
Pn
=P(x0
+th) = y0
+
,
t
=
. По правилу дифференцирования сложной
функции имеем
=
;
,
= h , так как x
= ht + x0
dx = h dt
, подставляем в производную
f’(x)
]
f’’(x)
.
П ример. Найти 1-ю и 2-ю производные при x = 0,15 от функции, заданной таблицей x y
0 2000
0,1152
0,1 2,1152 0,0310
0,1462 0,0013
0,2 2,2614 0,0323
0,1785 0,0011
0,3 2,4399 0,0334
0,2119
0,4 2,6518
18
0,1<x<0,2
; x0
=0,1 ; t =
;
f’(0,15)
1,4616
f’’
(0,15)
Интерполирование в конце и в середине таблицы
Если точка интерполирования лежит в близи точки xn или где – то справа от неё , тогда узлы интерполирования следует брать в порядке xn ,xn –h, xn -2h,…
Формула Ньютона запишется так:
f(x)
= yn +
;
xn-1<x<xn
.
Если точка интерполирования лежит внутри таблицы, то формула Ньютона –
- Бесселя .
f(x)=
+
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ЛЕКЦИЯ 7. Определение, способы задания, графики функции двух
переменных. Предел функции двух переменных.
Частные производные
В данном разделе мы ограничимся рассмотрением функций двух переменных, так как они чаще всего встречаются при дальнейшем освоении студентами программ по различным дисциплинам в нашем вузе.
Определение.
Функцией двух переменных называется
правило, по которому каждой паре
чисел (x,y)
соответствует единственное число z
При этом x и y называются независимыми переменными ( аргументами) , z – зависимой переменной (функцией), множество М – областью определе- ния , а L – множество значений функции.
Обозначается
z = f (x,y)
или z =
