Комбинированный метод
Пусть
требуется решить уравнение f
(x) = 0 , корень уравнения
находится в интервале [
; f(
< 0 ; f(x)>0
, f’’(x) >0
; f’(x) и
f’’(x) на
этом интервале сохраняют свои знаки.
=
–
b1
= b –
13
B
=
–
b2
= b1
–
- - ---------------------------------------------
B1
=
- f(
)
0
x0
b1
b x
=
-
;
<
.
Пример. Используя комбинированный метод хорд и касательных, найти приближённое значение корня уравнения x3 + x2 – 11 = 0 с точностью = 0,01.
Р ешение. Сначала найдём интервал изоляции корня , применим графический метод. Построим графики функций y1 = x3 и y2 = 11- x2.
y Одна точка пересечения этих графиков находится между 0 и 3,
y=x3
сузим интервал [1,2] и проверим
знаки функции f(x)
= x3 +
y=11-x2
+ x2 – 11 на концах
интервала.
f(1) = 1 + 1 -11 = - 9 <0 ; f( 2) = 8 + 4 – 11 = 1 >0
f’(x) = 3 x2 + 2x ;
0 x f’’(x) = 6x + 2 , f’’(2) = 12 + 2 = 14 >0. Касательную надо
проводить в точку b=2. Первое приближение получаем,
используя метод хорд
= 1 – f(1)
= 1 -
1,9 ;
= 2 –
= 2 -
1,94 .
f(1,9) = - 0,53 ; f(1,94) = 0,065 . Можно взять интервал [1,9; 1,94].
f’(1,94)
= 15,172.
= 1,9 –
1,936
;
= 1,94 –
1,936.
Ответ. x 1,936 .
Интерполяционная формула Лагранжа
Жозеф Луи Лагранж ( 1736 – 1813 ) родился в Турине в итало – французской семье обедневшего чиновника. Самостоятельно изучал математику и в 19 лет стал профессором математики артиллеристской школы г. Турина. 5 раз Лагранж удостаивался премии Парижской академии наук, являлся кавалером высшего французского ордена Почётного легиона. Его именем назван кратер на видимой стороне Луны.
Интерполирование – построение приближённого или точного аналитического выражения функциональной зависимости по известным её значениям или значениям её производных в данных точках .
Задача. Восстановить функцию y =f (x) по известным её значениям в точках :
x0 ,x1 , x2 ……..xn ; y0 , y1, y2 ………yn . yi = f(xi) , i = 0 , 1 , 2 ,………n.
Решение.
Найдём многочлен n –
ой степени Pn
(x) =
xn +
xn-1
+
xn-2
+ ………..
x +
, значения которого в точках x0
,x1 , x2
……..xn
совпадают со значениями функции
y = f(x)
, то есть Pn
(xi) =
f(xi),i
= 0 , 1 , 2 ,………n. y0
= f(x0)
, y1 = f(x1)
, …………..yn
= f (xn).
На графике это выглядит так
14
f(x)
y
Pn y0 y1 y2 y3 y4
0 x0 x1 x2 x3 x4 x
Чтобы проще определять коэффициенты многочлена , Лагранж предложил искать многочлен Pn в виде :
Pn (x) = (x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )….(x-xn ) + (x-x0 )(x-x2 )…(x-xn ) + (x-x0 )(x-x1 )(x-x3 )…+ + (x-x0 )(x-x1 )…..(x-xn-1 ) (1)
P(x0 ) = y0 ; P(x1 ) = y1 ; …… Pn (xn ) = yn (2)
Положим в (1) x = x0
P(x0
) = y0
=
(x0
–x1
)(x0
–x2
)…(x0
–xn
)
=
x = x 1 в (1)
P(x1
) = y1
=
( x1
–x0
)(x1
–x2
)….(x1
–xn
)
=
x = x2 в (1)
P
(x2 )
= y2
=
(x2
–x0
)(x2 –
x1
)….(x2
–xn
)
=
………………………………………………………………………………………………..
P(xn
) = yn
=
(xn
–x0 )(xn
–x1 )…(xn
–xn-1
)
=
Найденные коэффициенты подставим в (1).
Pn
(x) =
(3)
Формула (3) называется интерполяционным полиномом Лагранжа.
Пример. Из эксперимента получены значения некоторой функции y = f(x):
y0 = 3 ; x0 =1; y1 = -5 ; x1 =2 ; y2 =4 ; x2 = - 4. Требуется представить приближённо функцию y = f(x) многочленом 2–й степени.
Решение. Применим формулу (3) , положив в ней n = 2. Составим таблицу
-
X0
X1
X2
X
1
2
-4
y
3
-5
4
P2
(x)
=
, подставим сюда значения из таблицы P2
(x)
=
, раскрывая скобки , приведя подобные
члены , получим.
Ответ.
P2 (x)
=
.
15