Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [ ].

1). Находят все критические точки на [ .

2). Вычисляют значения функции на концах [ и в критических точках. 3). Из всех этих значений выбирают наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x³- 3x на отрезке [- 1,5; 2,5].

Решение. 1). f’(x) = 3x² – 3 =0 x₁ = - 1; x₂ = 1 . Оба значения принадлежат отрезку [- 1,5; 2,5]. 2). f(-1) = 2 ; f(1) = -2 ; f( - 1,5) = (-1,5)³ – 3 (-1,5) = 1,125; f(2,5)= = 2,5³ - 3 2,5 = 8, 125. 3). Y_наим. = -2 ; в точке x = 1. Y_наиб. = 8,125 в точке x = 2,5.

Выпуклость вогнутость графика функции. Точки перегиба

Определение. График функции y = f (x) называется выпуклым вверх в ( , если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

y

0 b x

О пределение. График функции y = f (x ) называется вогнутым (выпуклым вниз ) в интервале ( , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. y

0 b x

7

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

П ример. Для функции y = x³ точкой перегиба является точка x = 0, это видно из графика функции y

0 x

Теорема. Если во всех точках некоторого интервала ( ) f’’(x) < 0 , то график функции y = f (x) в этом интервале выпуклый, если f’’ (x) > 0 , то график вогнутый.

Пример 1. Установить интервалы выпуклости, вогнутости кривой y = 2 – x²

Р ешение. y’ = - 2x ; y ‘’ = - 2 < 0 . Ответ. Кривая всюду выпукла. Правило чаши здесь тоже применимо: меньше 0 , вода вылилась - выпукла.

Пример 2. Установить интервалы выпуклости , вогнутости кривой y = .

Р ешение. y’ = ; y’’ = > 0 , Кривая всюду вогнута. Вода в чаше есть, значит вогнута.

Необходимый признак существования

точек перегиба

Если f’’( = 0 или не существует и при переходе через значение x = производная f’’(x) меняет знак , то точка x = есть точка перегиба .

Пример. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции y = ( кривая Гаусса ).

Решение. Находим производные y’ =- ; y’’ = - 2 ( ) = 2 (2x² – 1) = 0 ; 2x² – 1 = 0 x₁ = ; x₂ = . Составим таблицу.

x	-1	-	0		1
Y’’	+	0	-	0	+
y		т.п.		т.п.

y

0 x

ЛЕКЦИЯ 3. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования

функций

Асимптоты

Определение. Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая

8

линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

Различают вертикальные ( параллельные оси оy ) и наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты

Определение. Вертикальные асимптоты – это прямые вида x = , удовлетворяющие условию : .

Вывод. Если функция y = f (x ) имеет точки разрыва 2-го рода, то она имеет и

вертикальные асимптоты.

Пример. Найти вертикальные асимптоты для функций : 1). Y = это x = 5 , так как 2). Y = x = 0, так как = . 3). Y = x + x = 2, так как

Наклонные асимптоты

Пусть кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту , а так как по определению - это, прямая ,то её уравнение имеет вид y = kx + b . Определим k и b .

y М₁

N

M

0 P x

M₁M = PM₁ – PM = y_ас. - y_гр. = ( kx + b ) – f(x) ; { по определению асимптот } , то есть выражение в [ ] - есть бесконечно малая функция при x , обозначим f(x) – kx + b = б.м. функция. Обе части последнего равенства разделим на x и перейдём к пределу при x

=0 =0

(1)

Найдём b . Так как kx +b – f(x) = , то b = + f(x) – kx.

=

(2)

Вывод. Если, хотя бы один из пределов (1) и (2) = , то кривая наклонных

асимптот не имеет.

9

Пример. Найти асимптоты графика функции y = x – 2 .

Решение. Область определения этой функции ( , то есть вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты y = kx + b , по формулам (1) и (2) находим k и b.

K =

b = . Получили 2 асимптоты y₁ =x + ; y₂ = x – . y

- 0 x

Общая схема исследования функций

и построение графиков

1. Область определения.

2. Асимптоты графика функции. Точки разрыва.

3. Чётность, нечётность функции.

4. Интервалы возрастания убывания функции. Экстремум.

5. Интервалы выпуклости вогнутости, точки перегиба.

6. Нули функции (точки пересечения с осями координат).

Пример. Исследовать функцию и построить её график y = .

Решение. 1. Область определения (- .

2. Точек разрыва нет, значит нет вертикальных асимптот. Найдём наклонные асимптоты: y = kx + b .

k = ; b = Асимптота y = 0 ось оx .

3. y (-x) = , то есть y(-x)= y (x) функция чётная, график симметричен относительно оси ординат.

4. Y’ = =0

Составим таблицу:

x	-2	-1	0	1	2
Y’	-	0	+	0	-
y		min		max
y		– 0,5		0,5

10

5. y’’ = = 0 . Составим таблицу:

10

x	-2	-	-1	0	1		2
Y’’	-	0	+	0	-	0	+
y		Т.п.		Т.п.		Т.п.
Y		-		0

y

max

-

0 x

min

ЛЕКЦИЯ 4. Некоторые численные методы

Приближённые решения конечных уравнений.

Пусть требуется решить уравнение f(x) = 0 , f(x) любая заданная функция : алгебраическая, трансцендентная. Уравнение f(x) = 0 называется конечным в отличие от дифференциального . Численные решения этих уравнений складываются из 2-х этапов.

1. Отделение корней, то есть установление промежутков, внутри которых находится один и только один корень ( интервал изоляции корня).

2. Вычисление корней с заданной степенью точности.

Отделение корней

1. Аналитический способ основан на свойствах непрерывных функций на

отрезке и монотонности функций.

Если f(x) непрерывна на [ и f( то f(x) пересекает ось ох в точке с [ ; f’(x) <0 или f’(x)>0 , то корень единственный в интервале [ .

f(x)

[

0 b x

f’(x) <0

Пример. Найти , хотя бы один интервал изоляции корня уравнения

Решение. f(x) = О.Д.З. ( . f’(x) = 3x²-1 =0 x₁=- ; x₂ = ;

-2 -

f (-2) = 8 + 2 + 1 < 0 ; f ( - ) = ( - )³ + + 1 > 0 . Таким образом корень уравнения находится в интервале ( -2 ; - ).

11

2.Графический способ

Пусть требуется определить интервал изоляции корня для уравнения f(x) = f₁(x) + f₂(x) = 0 . Корень этого уравнения это точка пересечения графиков y = f₁(x) и y= f₂ (x) . y y₂

y₁

0 x₀ x

Пример. Найти интервал изоляции корня уравнения 2 - - x = 0.

Решение. f(x) = 2 - – x =0 2 – x = ; y₁= 2 - ; y₂ = .

Изобразим графики этих функций.

Из рисунка видно, что корень находится в интервале [1, 2].

y

0 1 x₀ 2 x

Уточнение корней с заданной точностью

Метод хорд

Пусть требуется решить уравнение f(x) = 0 . Определили , что корень уравнения x₀ находится в интервале [ . При этом возможны случаи:

1 ). y B f( ) <0 , f(b) >0 ,

f’(x)>0 , f’’(x)>0.

0 x₀ b x

A

y

2). B

0 x₀ x f( <0 , f(b) >0 .

b f’(x) >0 , f’’(x) < 0.

A

3 ).

A f( ) > 0 , f( b ) < 0 ,

x₀ x f’(x) <0 , f’’(x)> 0.

0 b

B

12

4). f’(x) < 0 , f’’(x) < 0.

A f(

0 x₀ b x

B

Рассмотрим случай , когда f( ) < 0 , f(b) > 0 , то есть первый случай. Точки А ( f( ) ) и В ( b , f(b) ) имеют такие координаты , проведём через них прямую АВ -хорду : = , найдём точку пересечения этой хорды с осью ох , то есть y = 0 , получим = или = x-

x = , заменим x на . Получили первое приближение к корню. Если f( , то берём интервал[ , если f( , то [ и вновь проводим хорду , процесс продолжают до тех пор , пока не достигнется требуемая точность , то есть .

ЛЕКЦИЯ 5. Метод касательных (метод Ньютона). Комбинированный

метод.Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть требуется решить уравнение f(x) = 0. Корень уравнения x₀ находится в интервале [ , причём f( ) < 0, f (b) > 0 . f(x) - непрерывная функция , f’(x)

и f’’(x) сохраняют постоянные знаки. Касательная проводится в тот конец кривой , где f(x) и f’’(x) имеют одинаковые знаки, f(x)>0 , f’’(x) >0.

B

Y B(b,f(b)) , уравнение касательной АВ

B₁ имеет вид: y – f(b) = f’(b) ( x-b) , подставим

x_{0 1}b₁ b x в него y = o ,чтобы найти точку пересече-

0 ния с осью ох , получим : - = x – b ,

отсюда находим x = b - - это пер-

вое приближение , обычно x заменяют на b₁

b₁ = b - , b₂ = b₁ - . . . . . . . . . ,b_n+1 = b_n - .

Процесс продолжают до тех пор пока < .