Метод Эйлера

Идея метода заключается в том , что интегральная кривая , являющаяся графиком частного решения приближённо заменяется ломаной линией. По методу Эйлера производную в дифференциальном уравнении заменяют разностным отношением.

Задача. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

y’ = f(x,y) (1)

при начальных условиях y(x₀) = y₀ .

Решение. Надо построить интегральную кривую , проходящую через точку (x₀,y₀ ) . Построим эту кривую на отрезке [ x₀ ,b].

1).Разобьём отрезок [ x₀ ,b] на участки с шагом разбиения h.

x₀ ; x₁ = x₀ + h ; x₂ = x₀ +2h ; x₃ = x₀ +3h ; …… x_k = b .

y₀ = y(x₀); y₁ =y₁(x₁) ; y₂ = y₂(x₂) ; y₃ =y₃(x₃) ;…………y_k= y_k (x_k).

2). Заменим в уравнении (1) производную разностями

= f( k = 0,1,2…

y₁ = y₀ + f(x₀ ,y₀ ) ; y₂ = y₁ + f (x₁ ,y₁ ) ; y₃ = f(x₂ ,y₂ ) ………

Г еометрически это выглядит так:

Y Полученная ломанная Эйлера прибли-

жённо изображает интегральную линию.

Погрешность подсчитывается по формуле :

M₂ M₃

M₀ M₁ Для повышения точности в 10 раз , требуется

0 x₀ x₁ x₂ x₃ x увеличить число точек деления в 10 раз.

Пример. Методом Эйлера найти четыре значения функции y , определяемой уравнением y’ = x + y при y(0) = 1; h = 0,1.

Решение. x₀ = 0; x₁ =0,1; x₂ = 0,2 ; x₃ = 0,3 .

y₀ =1; y₁ = y₀ + hf(x₀ ,y₀ ) = 1+0,1(0+1)=1,1; y₂ = y₁ +hf(x₁,y₁) = 1,1+0,1(0,1+1,1)=1,36;

74

y₃ = y₂ +hf(x₂ ,y₂)=1,22 ; y₄ = 1,52.

y

0 0,1 0,2 0,3 x

Метод итераций

Метод последовательных приближений Пикара

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y’ = f (x) при начальных условиях y (x₀ ) = y₀.

Интегрируем обе части этого уравнения в пределах от x₀ до x .

= y(x) – y (x₀) = y – y₀ .

y – y₀ =

y = y₀ + { переобозначим переменную интегрирования}

y₁ (x) = y₀ + ; y₂(x) = y₀ + …..

……. y_n+1(x) = y₀(x) + .

Это алгоритм нахождения решения дифференциального уравнения 1-го порядка по методу итераций. .

Погрешность по методу Пикара оценивается так: если f(x,y) определена и непрерывна в окрестности R { } и удовлетворяет условию

Липшица , L =const , то процесс заведомо сходится в промежутке

.

Пример. Найти приближённое решение уравнения y’ = x + , удовлетворяющее условию y(0) = 1 .

Решение. y₀ = 1 , x₀ = 0 .

y₁ = 1 +

y₂ = 1 +

= 1 + x + .

y x + .

75

ЛЕКЦИЯ 25. Дифференциальные уравнения второго порядка, допус -

кающие понижения порядка. Линейные дифференциаль-

ные уравнения второго порядка . Линейные операторы

Уравнения второго порядка в общем виде записываются так : y’’ = f ( x,y,y’).

Возможны случаи:

1). y’’ = f (x) , правая часть не содержит y и y’.

Решение находится непосредственным интегрированием.

y’’ = (y’)’ y’ = , ещё раз интегрируем y = .

Пример. Найти общее решение уравнения y’’’ = sin2x.

Решение. Интегрируем обе части уравнения три раза по x .

y’’= -

2). y’’= f(x,y’) , правая часть не содержит y .

Подстановкой y’ = p(x) ; y’’ = , уравнение приводится к уравнению первого

порядка , то есть понижается порядок уравнения = f (x, p(x)) .

Пример. Найти частное решение уравнения (1 +

Решение. В уравнении отсутствует y , делаем подстановку y’ = p(x) ; y’’ = , получаем (1+ (1+ делим переменные =

dy = y = - это общее решение, частное решение имеет вид .

3). y’’= f (y,y’) , правая часть не содержит x .

Подстановкой y’ = p(y) ; y’’= , уравнение приводится к уравнению – это уравнение 1-го порядка.

Пример 1. Найти общее решение уравнения 1 + = 2yy’’.

Решение. Обозначим y’ =p ; y’’ = p ; подставим в уравнение

1+ (1+

= интегрируем 2 4(y- y= )+ общее решение.

76

Пример 2. Найти частное решение уравнения y’’ = q, при y’(0)=

Решение. Интегрируем обе части уравнения по t , y’ = qt + ещё раз интегрируем , y = q . Подставляем начальные условия 0 = ; . y_ч. = q .

Задача. В моторной лодке , движущейся прямолинейно со скоростью V₀ =5м./cек. выключили мотор. Скорость воды пропорциональна квадрату скорости лодки , причём коэффициент пропорциональности К = , где m - масса лодки . Через сколько времени скорость лодки уменьшится вдвое и какой путь пройдёт лодка за это время ?

Решение. Используем 2- закон Ньютона. Величина силы , действующей на материальную точку , равна произведению массы точки на величину её ус-

корения , а направление силы совпадает с направлением ускорения.

V= ; = = F или по условию m - ; получили дифференциальное уравнение m , при s/_t=0 =0; s’/_t=0 =5 м./сек. Это уравнение второго порядка , допускающее понижение порядка, обозначим s’=p. Уравнение примет вид ; ; - ; s’ = s’ = ;

ds = s = 50 0=50 ;

s = 50 . Ответим на вопрос :через сколько времени скорость лодки уменьшится вдвое ?

s’ = v = 0,5v₀ = 2,5. 2,5 = Путь , который пройдёт лодка за это время s = 50

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные операторы

Уравнение вида называется линейным неоднородным уравнением 2-го порядка. Если b(x)=0 , то уравнение называется однородным 0.

Обозначим L[y] = , тогда L[y]= 0 – операторное уравнение. Выражение L[y] обладает свойствами:

1). L[ .

77

2). L[Cy] = C L[y].

Операторы , обладающие свойствами 1 и 2 называются линейными операторами.

Линейные однородные уравнения второго порядка

0 (1)

Теорема 1. Если 2 частных решения уравнения (1) , то и также решения этого уравнения.

Доказательство. Так как решения , то . Подставим (y₁ +y₂) в (1). ( или L[ , ч.т.д.

0 0

Теорема 2. Если - решение уравнения (1) , то и С также решение уравнения (1) , С =соnst.

Доказательство следует из свойств линейных операторов.

L[y₁]=0 , то и L[Cy₁] = 0 , ч.т.д.

Определение. Два решения называются линейно независимыми на [ , если их отношение на этом отрезке не является постоянным , то есть , если в противном случае они называются зависимыми , то есть или .

Определение. Определитель W ( = = , где y₁ и y₂ – функции от x, называется определителем Вронского.

Теорема 3. Если y₁ и y₂ 2 линейно независимых решения , то определитель Вронского , если решения зависимы , то определитель = 0.

Независимые решения образуют фундаментальную систему решений.

ЛЕКЦИЯ 26. Общее решение линейного однородного дифференциаль-

ного уравнения. Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами.

Неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка

Теорема о структуре общего решения

Если 2 частных решения уравнения

0 (1)

образуют фундаментальную систему , то общее решение этого уравнения имеет вид

y = C₁ y₁ (x) + C₂ y₂ (x) (2)

Доказательство. Функция (2) является решением уравнения (1) , это следует из теорем 1. и 2. предыдущей лекции. Покажем , что (2) является общим ре-

78

шением, для этого надо показать , что из него можно выделить единственное решение , удовлетворяющее начальным условиям и .

Эти условия подставим в уравнение (1) (3)

В данной системе неизвестными являются c₁ и c₂ , определитель системы

W = c₁ = , c₂ = . Система (3) имеет единственное решение , следуя формулам Крамера, поэтому всегда можно найти с₁ и с₂ , и функция (2) есть общее решение уравнения (1).

Вывод. Из доказанной теоремы следует , что для нахождения общего решения достаточно знать 2 его частных решения , образующих фундаментальную систему решений.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с

постоянными коэффициентами

Это уравнения вида

y’’ + py’ + qy = 0 (1)

Ч тобы записать общее решение , найдём 2 частных независимых решения y₁ и y₂ , пусть это будут решения вида y = y’ = k y’’ = k² , подставим в (1). или

0 . (2)

Если k будет удовлетворять уравнению (2), то y = , будет решением уравнения (1).

Определение. Уравнение (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1).Находим корни характеристического уравнения k₁ = - + ; Возможны случаи :

. действительные различные корни

, - эти решения линейно независимы , так как Решение уравнения (1) в этом случае имеет вид

Пример. Найти общее решение уравнения y’’ + y’ – 2y = 0 .

Решение. Составляем характеристическое уравнение , находим корни k₁ = 1 ; k₂ =-2 . Запишем решение .

Корни характеристического уравнения равные k₁ =k₂

Частные решения возьмём в виде ; , покажем , что функция y₂ является решением уравнения (1). y₂’ = ; y₂’’= + + , подставим y₂ , y₂’, y₂’’ в уравнение (1) .

79

y₂’’ +py₂’+ qy₂ = ( x )’’ + p (x )’ + q (x )= 2 + +p( + ) + q x = (2 ² + p + p +q x) = [ x ( = то есть функция y₂ – решение уравнения (1). Покажем, что y₁ и y₂ линейно независимые решения .

Решение имеет вид

Пример. Найти общее решение уравнения y’’-2y +y =0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение , корни уравнения решение y = .

Корни характеристического уравнения комплексные

; , .

; ; ( ; ( ;

y = ; y = Окончательно решение имеет вид

Пример. Найти общее решение уравнения y’’+2y = 0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение корни уравнения , ; решение имеет вид y = .

Неоднородные линейные уравнения 2-го порядка

Это уравнение вида

y’’+ (1)

Теорема. О структуре общего решения. Общее решение уравнения (1) представляет собой сумму какого – либо частного решения y* и общего решения , соответствующего однородного уравнения y = .

y’’+ = 0 (2)

Доказательство. Докажем , что

y = (3)

есть решение уравнения (1). Подставим (3) в (1).

( y* )’’+ ( y* )’+ y*) = ‘’+ y* ‘’+ ‘+ y*’ + +

‘’ + ‘ ) + y* ‘’ + y*’ + , ч.т.д.

=0 =f(x)

Докажем , что (3) общее решение уравнения (1) , то есть можно найти произвольные постоянные с помощью начальных условий

y =y₀ ; y’ = y’₀ (4)

x=x₀ x=x₀

80

В решение = + y* подставим начальные условия

или

Э та система имеет единственное решение относительно неизвестных и , так как определитель системы w = в силу линейной независимости и

Таким образом y = является общим решением уравнения (1).

Теорема 2. Решение y* для уравнения y’’ + = f₁ (x) + f₂ (x) можно представить в виде y* = y*₁ + y*₂ , где y*₁ и y*₂ соответственно решения уравнений y’’ + = f₁ (x) и y’’ + = + f₂ (x) . Без доказательства.

ЛЕКЦИЯ 27. Метод вариации произвольных постоянных для решения

линейных неоднородных уравнений второго порядка

с постоянными коэффициентами.Метод подбора решения

Метод вариации

Пусть требуется решить уравнение

y’’ + p y’ + g y = f(x) , (1)

где р и g - числа , f(x) – произвольная функция. По методу вариации решение находят в виде

y = c₁(x) y₁ + c₂(x) y₂ , (2)

где y₁ и y₂ – линейно независимые частные решения однородного уравнения , соответствующего данному , с₁ (x) и c₂(x) произвольные функции , которые надо определить. Чтобы функция (2) была решением уравнения (1) , надо чтобы эта функция вместе со своими производными обращала в тождество уравнение (1). Дифференцируем (2 ) по x

y’ = c₁(x) y₁’ + c₂(x) y₂’ + c₁’(x)y₁ + c₂’(x) y₂ . (3)

Подберём с₁(x) и с₂(x) так , чтобы c₁’(x)y₁ + c₂’(x) y₂ = 0 , тогда (3) примет вид

y’ = c₁(x) y₁’ + c₂(x) y₂’, дифференцируем это соотношение ещё раз

y’’ = c₁(x) y’’₁ + c₂(x) y’’₂ + c₁’(x) y₁’ + c₂’(x) y₂’ . (4)

Подставляем (2) ,(3),(4) в (1) c₁(x) y’’₁ + c₂(x) y’’₂ + c₁’(x) y₁’ + c₂’(x) y₂’ + p (c₁(x) y₁’ + c₂(x) y₂’) + g (c₁(x) y₁ + c₂(x) y₂ ) = f(x) , группируем

c₁(y₁’’ + p y₁’ + g y₁) + c₂ (y₂’’ + p y₂’ + g y₂ ) + c₁’(x) y₁’ + c₂’(x) y₂’ = f (x) .

=0 =0

Таким образом функция (2) является решением уравнения (1) , если (5)

81

Из системы (5) единственным образом можно найти по формулам Крамера с₁(x)и c₂(x) , так как определитель системы w = в силу линейной независимости y₁ ,y₂ . c’₁ = ; c’₂ =

Пример. Методом вариации найти общее решение уравнения y’’ + 4y = .

Решение. По методу вариации решение находим в виде y = c₁(x) y₁ + c₂(x) y₂ , для нахождения y₁ и y₂ ,составляем характеристическое уравнение k² + 4 = 0 K_1,2 = ; y_0.0 =c₁cos2x + c₂ sin2x ; если c₁ =1, c₂ = 0 , то y₁ = cos 2x ; если c₁ = 0, c₂ = 1 , то y₂ = sin 2x . Решение примет вид y = c₁ (x)cos2x + c₂ (x) sin 2x .

c₁ ‘ = = - tg2x ; c₁ = - .

c₂’ = = = ; c₂ = x +B .

y = [ или

y = A cos2x + B sin2x +

Метод подбора решения

Пусть требуется решить уравнение

y’’+py’ +qy = f(x) , (1)

p ,q – числа ; f(x) – известная функция. Общее решение такого уравнения имеет вид y = + y* , - всегда можно найти с помощью характеристического уравнения. Для определения y* существует метод подбора формы частого решения в зависимости от специального вида функции f(x) в правой части.

. Правая часть уравнения (1) имеет вид :

f(x) = ,

где многочлен степени n, а – действительное число. . В этом случае

y* = , многочлен также степени n , что и , но с неопределёнными коэффициентами, а r – количество корней характеристического уравнения , совпадающих с

Пример. Найти общее решение уравнения y’’ – 2y’ -3y = (x+2) .

82

Решение. y = + y* . Найдём сначала . Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

, так как один корень уравнения совпадает с и y* = (Ax + B) =(A .

Определим коэффициенты А и В , воспользуемся тем , что всякое решение вместе со своими производными обращает в тождество уравнение.

y*’ = (2Ax+B)

Y*’’ = 3 y*’,y*’’,y* подставляем в исходное уравнение

3 – 2 -3(A = (x+2) . Сделав элементарные преобразования , придём к уравнению 8Ax + (2A+4B) = x+2 , сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , находим A = ; B = ; y* = (

Ответ. Y = ( +

. Правая часть уравнения (1) имеет вид:

f(x) = ,

m и n – числа , степени многочленов, то

y* = ,

где многочлены с неопределёнными коэффициентами , а k - наибольшее из m и n; r = 1 , если корни характеристического уравнения вида : , в остальных случаях r = 0.

Пример. Найти общее решение уравнения y’’ + 4y’ + 5y =2 cosx – sinx и выделить частное решение , удовлетворяющее начальным условиям:

y(0)=1 ; y’(0)= 2

Решение. y = + y*, найдём , составляем и решаем характеристическое уравнение ; = , так как 0 не корень характеристического уравнения то

y* = A cosx + B sinx

Найдём A и B. y*’ =- A sinx + B cosx; y*’’ = - A cosx – B sinx, подставляем в исходное уравнение - A cosx – B sinx + 4 (- A sinx + B cosx ) + 5 (A cosx + B sinx )= 2 cosx – sinx, приравниваем коэффициенты при sinx и cosx , получаем

отсюда B = ; A = . y*= cosx + sinx; y = cosx + sinx + Выделим частное решение, для этого найдём y’ = - , подставляем в y и y’ на-

83

чальные условия Частное решение имеет вид y = cosx + sinx + (

Записать структуру решения

1. y’’ + 4y = 5 sin2x 4. y’’- 7y’ + 6y = (x -2)

2. y’’ – 2y’ + y = 3 5. y’’ + y = x cosx

3.y’’- y= 3 6. y’’+ 4y’ +8y = .

ЛЕКЦИЯ 28. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы их решений

Основные понятия и определения

Определение. Системой обыкновенных дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, искомые функции и их производные.

Предполагается, что число неизвестных функций равно числу уравнений.

Пусть x – независимая переменная, y₁, y₂ ,… y_n –неизвестные функции, система имеет вид:

)

)

------------------- ------------------- (1)

Система (1) называется нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Здесь производные от неизвестных функций разрешены и находятся строго слева или , ещё говорят, система записана в