Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Определение. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и её производной и имеет вид : y’ + P(x) y = Q(x).
Подстановкой
Бернулли
оно приводится к двум уравнениям с
разделяющимися переменными.
В уравнении сделаем замену переменной для этого его перепишем так :
+ P(x) y =
Q(x)
+ P u∙v = Q(x) .
u
(
(1)
выберем v так , чтобы
1).
(
=0
решаем это уравнение ,как уравнение с
разделяющимися переменными , получим
или
v =
,
положим с1= 1 , тогда v
=
,
для нахождения u , подставим
найденное значение v в
(1).
2).
v∙
=
du =
du = Q(x)
отсюда
u
=
Окончательно решение уравнения (1)
запишется так:
(2)
Пример
1. Найти общее решение уравнения y’
-
Решение.
Это линейное уравнение , в котором
Р(x) = -
; Q(x) =
. решение находим по формуле (2) . y
=
;
y
=
;
y = x [
;
y = x
[
это общее ре
71
Шение.
Пример 2. Найти общее решение уравнения : y’ + 2xy = x .
Решение.
P(x) = 2x
; Q(x) = x
подставляем в формулу (2) , получим :
Y
=
;
y =
;
Y
=
общее решение.
Задача. Пусть электрическая цепь имеет сопротивление R и самоиндукцию L.
Определить
силу тока
в цепи .
Решение.
L Если - сила тока , Е – электродвижущая сила,
Е
R то из
физики известно E = R
+ L
, пусть
E известная функция времени t, тогда уране-
73
ние
+
или
является линейным уравнением относительно
фун ции
. Решение этого уравнения имеет вид
=
или
-
общее решение
Уравнения Бернулли
Определение.
Уравнение вида : y’
+ P(x)
y = Q(x)
, n
называется
уравнением Бернулли .
Решение этого уравнения сводится к решению линейного уравнения следующим образом:
1).
Разделим обе части уравнения на
получим
.
2.)
Сделаем замену переменных : z
=
;
z’ = (-n+1) y’
y’
.
3).
Подставляем в уравнение
это линейное уравнение относительно
z , z’
+(-n+1)p z
= Q(x) (-n+1)
, решаем его подстановкой z=
u
или по формуле.
Пример.
Найти общее решение уравнения y’
+
,здесь
n = 2.
Решение.
Разделим обе части уравнения на
, получим
,
обозначим { z =
} подставим в уравнение , оно примет вид
z’-
- решаем его ,как линейное уравнение
относительно неизвестной функции z
по формуле z =
z=
,
окончательно
z = x
(x+c)
– общее решение, подставим вместо z
=
, получим
72
y
= 1 / (
.
ЛЕКЦИЯ 24. Уравнения в полных дифференциалах .
Численные решения дифференциальных уравнений
первого порядка
Уравнения в полных дифференциалах
Определение. Уравнение вида
M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 (1)
называется уравнением в полных дифференциалах , если N (x,y) и M (x,y) непрерывные и дифференцируемые функции в D, удовлетворяющие условию
(2)
Условие (2) означает, что левая часть уравнения (1) представляет полный дифференциал некоторой функции U(x,y),то есть du= M (x,y) dx +N (x,y)dy = 0
Или Du = 0 → u(x,y) = c - общее решение уравнения (1).
Функцию u(x,y) можно находить двумя способами.
1).
По формуле : u(x,y)
=
.
2).
,
интегрируем по переменной x
,
u
=
(3)
интегрируем по
переменной y,
U
=
.
(4)
Как
определяются функции
покажем на примере.
Пример
1. Найти общее решение уравнения
= 0.
Решение.
Сначала проверим, является ли это
уравнение уравнением в полных
дифференциалах. M(x,y) =
; N =
.
x=
так как
, то данное уравнение является
уравнением в полных дифференциалах ,
решаем его.
u
=
u =
; u =
, с другой стороны
u
=
u =
.
Чтобы
определить функции
, запишем функцию u из
первого соотношения и припишем к ней
недостающие, неравные слагаемые из
второго соотношения u =
+ C , Ответ : u
=
= С
это общее решение данного уравнения .
Можно сделать проверку ,
;
; эти частные производные должны совпадать
с выра
73
жениями , стоящими при дифференциалах в данном уравнении.
Пример
2. Проинтегрировать уравнение :
Решение
. dy (3
+
;
- dy (3
+
)=
0.
. Условие выполняется , значит это
уравнение в полных
дифференциалах
, решаем по формуле u =
, здесь x0 = 0, y0
=0 . u = -x
+(3
=-x
+
.
Общее решение : -x + .