0 Пройденный путь s является функцией времени t ,

Y = S(t). q 9,81 м/c² . С другой стороны y’’=q – это

дифференциальное уравнение.

Определение. Дифференциальным уравнением называется , уравнение , связывающее независимую переменную x , искомую функцию y=f(x) и её производные y’, y’’,….yⁿ .

F ( x ,y’,y’’, …..y⁽ⁿ⁾ ) = 0 (1)

или F (x ,

Определение. Уравнение (1) называется обыкновенным дифференциальным уравнением (о.д.у) , если функция y=f(x) – функция одного независимого ар-

гумента.

67

Определение. Порядком о.д.у. называется порядок наивысшей производной , входящей в это уравнение.

Примеры. y’’=q уравнение 2-го порядка. T’ = k (T-10°) уравнение 1-го порядка.

Определение. Решением , интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) , F(x,y)=0 , которая будучи подставлена в уравнение , превращает его в тождество.

Пример. Найти решение уравнения Y’ = x² ;

Решение. dy =x²dx ; y = то есть решением является множество функций .

Определение. Общим решением , общим интегралом дифференциального уравнения n- го порядка называется функция вида y = , , где - произвольные постоянные.

га на величину С.

Определение. Частным решением о.д.у. (1) называется всякое решение y = c₁⁰,c₂⁰,c₃⁰,….,c_n⁰) при конкретных значениях с_i - одна интегральная линия.

Чтобы из общего решения выделить частное решение, надо поставить некоторые дополнительные условия - начальные условия.

При x = x₀ , y = y₀, y’ = y₀ ,……,y⁽ⁿ⁾= y⁽ⁿ⁾₀ ; по другому начальные условия можно записать так : y = y₀ ; y’ = y₀’ ….. y⁽ⁿ⁾ = y₀⁽ⁿ⁾ .

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Геометрический смысл о.д.у. первого порядка Пусть задано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y’)=0 или

y’ = f (x, y ) (1)

и начальные условия

x = x₀ ; y = y₀ . (2)

Подставим в (1) координаты произвольных точек плоскости xoy .

f₁ (x₁,y₁) = y₁’(M₁) = tg ; f₂(x₂ ,y₂ ) = y₂’(M₂) = tg ; ……..f_n^’(x_n ,y_n )=y_n^’( )=tg .

На плоскости xoy отметим эти значения.

y Полученная картина называется полем

М₂ М₃ направлений на плоскости . Интеграль -

М₁ М₄ ные линии должны проходить так , чтобы

стрелочки – касательные касались линий

М₅ в этих точках.

М₆

0 x

68

Вывод. Уравнение (1) на плоскости задаёт поле направлений , то есть надо построить поле направлений и построить интегральные линии , это и будет решением уравнения .

На практике удобнее выбирать не произвольные точки ив них касательные , а строить линии , на которых поле направлений одинаково , то есть f(x,y) = k.

Определение. Множество всех точек плоскости , в которых отрезки поля имеют одно и то же направление называются изоклинами дифференциального уравнения. F(x,y) = k – это уравнение изоклин.

Теорема Коши о существовании и единственности

решения о.д.у.первого порядка

Если правая часть f(x,y) уравнения y’=f(x,y) и её частная производная f’_y(x,y) определены и непрерывны в области D переменных x и y, то какова бы не была внутренняя точка области (x₀ ,y₀) , данное уравнение имеет единствен

ное решение y = принимающее при x = x₀ , заданное значение y = y₀ .

Определение. Задача,в которой требуется найти решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее условию y (x₀ ) =y₀ , называется задачей Коши.

Геометрически это означает, что всегда из общего решения , то есть из множества интегральных кривых можно выделить одну кривую , проходящую через указанную точку.

Определение. Точки (x,y) плоскости , в которых не выполняются условия теоремы Коши , называются особыми точками.

Пример. В уравнении y’ = x = 0 – особые точки.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными

Это уравнения вида , разделим обе части этого равенства на , получим – это уравнение с разделёнными переменными, можно интегрировать каждое слагаемое = - y(x) = f(x) + c – общее решение.

Пример. Найти общее решение уравнения xy’ + y =0 и выделить из него частное , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. x + y =0 x dy +y dx = 0 делим на xy, получаем , интегрируем + = 0 или y x = c – общее решение, в него подставляем начальные условия , частное решение запишется так : y x = 2 .

Задача 1. Из условия задачи 1 получено дифференциальное уравнение

= k (T- 10 , решим его.

Решение. dT = k (T - 10°)dt это уравнение с разделяющимися переменны

69

ми, разделим на скобку , интегрируем, получаем или = это общее решение, выделим частное при ,подставим эти начальные условия в общее решение и найдём С₁ ; С₁ C₁ = 90°.

Частное решение имеет вид .

Найдём k из условия , подставляем это условие в частное решение 60° = 90° , T = 90°( + 10°; T = 90°( . Найдём время ,за которое тело охладилось до 20° .Подставим в последнее равенство T= 20°. 20° = 90°( +10° ,

Отсюда , мин.

ЛЕКЦИЯ 23. Однородные дифференциальные уравнения первого

порядка. Линейные уравнения первого порядка.

Уравнения Бернулли

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Функция f(x,y) называется однородной, если

f ( x, y ) =

Например , f (x,y ) = ; f ( = - эта функция 1-го измерения.

f (x,y) = x y - ; f ( - эта функция 2-го измерения.

Определение. Однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение y’ = f (x,y) , если функция f (x,y) – однородная нулевого измерения , то есть f( x, y) = f (x,y ).

Эти уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки { = t y = x → dy = tdx+xdt } .

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. f (x,y) = . f ( = , это уравнение однородное. Обозначим { = t y = x → dy = tdx+xdt } , подставляем в уравнение = tdx+xdt = ( t - )dx = - xdt , разделим переменные , получим , интегрируем обе части этого равенства

70

+ = 0 или x( = c ; вернёмся к старой переменной x ( ; или → это общее решение.

Пример 2. Найти общее решение уравнения y’ = .

Решение. По внешнему виду можно сказать , что это уравнение однородное, так как присутствует в показателе дробь . Делаем подстановку { = t y = x → dy = tdx+xdt } . Уравнение принимает вид tdx+xdt = , приводим подобные : dx ( t - + xdt =0 , делим переменные , интегрируем - = 0 = общее решение.