Объём тела вращения

Пусть некоторая кривая y= f(x) вращается вокруг оси ох , найдём объём тела , полученного от вращения.

y M(x,y) В сечении этого тела получаются круги, радиусы

x

x

b

x которых равны ординате точки M , S_кр. = ,

0 по формуле (1 ) (2)

60

Аналогично , если тело получено от вращения вокруг оси oy, то

(3)

Пример. Найти объём тела , образованного вращением цепной линии вокруг оси ox, x .

Решение.Уравнение цепной линии y = используем формулу (2)

V = { -

y

b

0 b x

Длина дуги кривой M₄

M₂

M₃ , при длина ломаной стремится к длине дуги .

Определение. Длиной дуги называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной, когда число её звеньев неограниченно растёт .

1). Дуга задана в д.с.к. y = f(x) в явном виде.

Y = f(x) – непрерывна и непрерывна её производная f’(x).

Y

f(

A =

0 x =

= ( ).

dx .

0

(1)

П ример. Вычислить длину дуги окружности . Y

r x

61

Решение. y = , y’ = L = 4

= 4 .

Кривая задана параметрически , воспользуемся формулой (1) , в которой производную y’(x) находим по правилам дифференцирования параметрических функций , тогда =

=

(2)

Пример. Найти длину одной арки циклоиды .

Решение. Воспользуемся формулой (2), найдём производные:

63

; . dt =

= .

3).Кривая задана в полярной системе координат.

;

; ( Воспользуемся формулой (2),получим , Пример. Найти длину кардиоиды .

Решение. , d = 2 = 2

0

ЛЕКЦИЯ 21. Площадь поверхности вращения. Механические приложения

определённого интеграла. Интегралы,зависящие от параметра.

Численное интегрирование

Площадь поверхности вращения

Пусть линия y =f(x)= AB вращается вокруг оси ox.

62

Проведём плоскости перпендикулярные оси ох

A B Разобьём дугу АВ точками на части .

a

b

Поверхность вращения разобьётся при этом

0 x на площадки ,площадь всей поверхности

вращения будет равна сумме этих частичных

площадей , которые представляют собой площади усечённых конусов.

Из школы известно S_ус.к. = 2 , полагаем в этой формуле m = ; R = = ; если , то S , а точное значение площади поверхности S = ) это предел интегральной суммы , а он равен определённому интегралу , то есть

d = dx в д.с.к.; d = dt,

если дуга задана параметрически; d = d , если дуга задана в по-

лярной системе координат.

Пример. Найти площадь поверхности вращения дуги синусоиды y = sin x ,

0 вокруг оси ох.

Решение.S_п.в.=2

y = - 2 =

0 x

= +

+ =

= кв.ед.

Механические приложения определённого интеграла

1). Статистические моменты дуг и фигур:

дифференциал длины дуги.

.

2). Моменты инерции дуг и фигур относительно оси ох и оy:

.

;

3). Координаты центра тяжести дуг и плоских фигур:

63

Интегралы, зависящие от параметра

Определение. Определённые интегралы с конечными пределами от функции f(x, -2-х переменных, но интегрирование ведётся по одной из них.

F( (1)

Примеры : Вычислить интегралы

1).

2). .

3).

Теорема . (О дифференцировании по параметру).

Если функция f(x, и её частная производная непрерывны при , то функция F( имеет непрерывную производную

F’( и справедлива формула

F’(

Коротко. Производная по параметру равна интегралу от производной подынтегральной функции по этому параметру. (Это правило Лейбница).

Пример. , дифференцируем обе части этого равенства по параметру

, разделим обе части на -2

, получили формулу для вычисления интеграла , не находя первообразной . Если ещё дифференцировать несколько раз , можно получит формулу для вычисления интеграла

Теорема. (Об интегрировании по параметру)

Если функция f(x, непрерывна в области { , то функция F( интегрируема на [ , кроме того справедлива формула:

.

Замечание. Существуют и несобственные интегралы, зависящие от параметра.

Численное интегрирование

Приближённое вычисление определённых интегралов

Формула прямоугольников. Пусть на отрезке [ задана непрерывная функция y = f(x). Требуется вычислить определённый интеграл .

Разделим отрезок [ точками на n равных частей длины Обозначим через значения функции f(x) в точках , то есть

64

Составим суммы: ; .

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на и потому приближённо выражает интеграл

Это и есть формулы прямоугольников, первая из них позволяет вычислять интеграл с недостатком , а вторая с избытком.

Y Эти формулы выражают площадь кривo-

линейной трапеции – ступенчатой фигуры.

y₀ y₁ y₂ y_n-1 y_n Ошибка при вычислении по формуле пря-

0 x моугольников тем меньше , чем больше n

₀ x₁ x₂ x_n-1 x_n=b ,где = на [

. Формула трапеций. Суть этой формулы заключается в том, что кривую

y= f(x) заменяют ломаной и площадь всей криволинейной трапеции заме

няют суммой площадей прямолинейных трапеций . Площадь 1-й трапеции равна

Y ; 2-й и так далее , то

+ +…+ или

.

Это и есть формула трапеций.

Y₁ y₂ y_n Абсолютная погрешность при вычислении

оценивается по формуле R_n

0 = x₀ x₁ x₂ x_n=b x где на [

Пример. Вычислить интеграл с помощью формулы трапеций при n= 8.

Решение. Составляем таблицу

i	xi	Xi2	Yi=sin(xi2)
0	0	0,00	0,0000
1	0,2	0,04	0,0400
2	0,4	0,16	0,1593
3	0,6	0,36	0,3523
4	0,8	0,64	0,5972
5	1.0	1,00	0,8415
6	1,2	1,44	0,9915
7	1,4	1,96	0,9249
8	1,6	2,56	0,5487

65

.

R_n .

. Формула парабол ( Формула Симпсона)

Разделим отрезок [ на чётное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции , соответствующей первым двум отрезкам [x₀,x₁] и[x₁,x₂] и ограниченной заданной кривой y = f(x) заменим площадью криволинейной трапеции , которая ограничена параболой второй степени , проходящей через три точки M₀(x₀,y₀) , M₁(x₁,y₁) , M₂(x₂,y₂) и имеющей ось параллельную оси oy. Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией

Y = Ax² +Bx +C . Коэффициенты A ,B , C однозначно определяются из условия , что парабола проходит через 3 заданные точки .Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапе-

ций и даёт приближённое значение интеграла.

y Здесь число точек деления 2m

M₃ произвольно , но чем больше это

M₀ M₂ число , тем точнее сумма в пра--

M₁ M₄ y = f(x) вой части следующего равенства .

0 x₀ x₄ x

Здесь n = 2m , . Это и есть формула Симпсона или формула парабол. R_n где .

Задача. Ширина реки =20м., промеры глубины в некотором поперечном её сечении через каждые 2м. дали следующую таблицу:

x	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
y	0,2	0,5	0,9	1,1	1,3	1,7	2,1	1,5	1,1	0,6	0,2

Найти площадь поперечного сечения реки по формуле Симпсона.

Решение. =

S = = 21,9м²

Многие интегралы не выражаются в элементарных (школьных )функциях : ;

)dx , R – рациональная функция ,

66

Они выражаются через специальные функции , например эллиптические функции или Гамма – функции , а определённые интегралы вычисляют приближёнными методами.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 22. Понятие обыкновенных дифференциальных уравнений

их общих , частных решений. Обыкновенные

дифференциальные уравненияпервого порядка

При решении задач физики и математики возникает необходимость составление уравнений , которые связывают не только независимые переменные и функции , но также и производные от функций .

Задача 1. Тело охладилось за 10 мин. От 100°до 60°, температура окружающей среды поддерживается постоянной равной 10°. Определить через

сколько минут температура тела станет равной 20°?

Решение. Из физики известно , что температура тела пропорциональна разности между температурой до которой нагрето тело и температурой окружающей среды. Обозначим T(t) – температуру в некоторый момент времени t ,тогда скорость изменения температуры - . Так как скорость охлаждения пропорциональна температуре окружающей среды, то = k(T-10°) - это дифференциальное уравнение.

Задача 2. Материальная точка массы m падает под действием силы земного притяжения . Требуется определить путь пройденный точкой за время t ,если в начальный момент точка имела скорость v=v₀ , в точке 0 y=0, t=0.