Лекция 20. Приложение определённого интеграла к решению задач

. Вычисление площадей

y = f(x) , то , если f(x) >0 на , то если f(x) < 0 на ,

то .

б). Кривая задана параметрически, то есть{ x = , y = ,

то

г). Кривая задана в полярной системе координат,то есть вычислим площадь сектора

, ,

B 1). Разобьём сектор АВ на

части

A 2). Площадь ,

0

3). Площадь всего сектора запишется так для точного вычисления переходим к пределу это предел интегральной суммы , он равен определённому интегралу , то есть

59

Пример 1. Вычислить площадь , ограниченную лемнискатой Бернулли

.

Р ешение. 0 .

S = 4 =2 = .

Пример 2. Вычислить площадь , ограниченную одной аркой циклоиды

. 0

Р ешение. 0 2π S = =

= 4 =8 .

. Вычисление объёма тела по известным поперечным сечениям

Пусть имеем тело Т , объём которого надо определить .

b

0 T x

Рассечём тело плоскостями параллельными оси ох , площадь сечения обозначим , а объём каждого криволинейного цилиндра , объём всего тела V , точное значение объёма можно найти , переходя пределу . V = это интегральная сумма на отрезке [ , она равна определённому интегралу , поэтому

(1)