Свойства определённого интеграла

1). При перемене пределов интегрирования , интеграл умножается на (-1).

2). Если

3 ). Если c b , то .

4). .

5). , где К – const .

6). Формула интегрирования по частям:

^b -

^a

7). Замена переменной в определённом интеграле.

Пусть дан интеграл где f(x) – непрерывная функция на [ .

Введём новую переменную x = , если

a).

б). - непрерывны на [ и значения не выходят за пределы [ , то есть

в). F[ определена и непрерывна на [ , то

.

Пример. Вычислить =

= = = dt = 2 ( - t )³₂ = 2 ( 9 – 3 - =

8). Интегрирование в симметрических пределах .

если f(x) – чётная .

если , f(x) – нечётная .

Основные теоремы об определённом интеграле

Теорема 1 . О знаке интеграла.

Если подынтегральная функция в интервале интегрирования не меняет знак , то интеграл представляет собой число того знака , что и функция.

1). f(x)

54

2). f(x)

3). f(x)

f(x)

Пример. Не вычисляя интеграла , определить его знак.

Решение. На отрезке [0, функция f(x) = x sinx >0 , значит и интеграл > 0 .

Теорема 2. Об оценке определённого интеграла .

Значение определённого интеграла заключено между произведением наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции , умноженной на длину интервала интегрирования.

m (b- ) < (b- ) , где m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [ .

Пример . Оценить интеграл

Решение. f(x) = , о.д.з. x ; f’(x) = = 0 x₁= 1 , x₂ = 0 .

f(0) = f(1) = , f(2) = . f_наим. = f_наиб. = . m = 0,5 ; M = 0,6 .

1 < .

Теорема 3. О среднем.

Внутри интервала интегрирования [ cуществует хотя бы одно значение

x = c , для которого .

Значение f( c) называют средним значением функции на [ и записывают

Пример. Найти среднее значение функции f(x) = на [0,1].

Р ешение. y_ср. = ¹ = .

⁰

Геометрически теорема о среднем говорит , что всегда можно подобрать такую высоту прямоугольника , чтобы его площадь равнялась площади криволинейной трапеции с тем же основанием.

y

f(c)

c b

0 x

55

ЛЕКЦИЯ 19. Интегралы с переменным верхним пределом .

Несобственные интегралы

Определение. Интегралом с переменным верхним пределом называется интеграл вида

Теорема. Производная интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции , в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом , то есть интеграл есть первообразная для подынтегральной функции.

Доказательство. Придадим функции приращение

=

- = по теореме о разбиении интервала интегрирования можно записать:

dt , тогда

= = = f(c) , c = f(c) { по определению производной}

= =

что и требовалось доказать.

Вывод. Всякая непрерывная функция f(x) имеет первообразные, одной из которых является интеграл

Несобственные интегралы

Определение. Интеграл называется несобственным, если его подынтегральная функция неограниченна на отрезке интегрирования, либо неограниченна сама область интегрирования.

Определение. Несобственный интеграл существует (сходится), если существует предел этого интеграла в точке разрыва подынтегральной функции или в бесконечно удалённой точке в противном случае интеграл не существует (расходится).

Несобственные интегралы с неограниченными

пределами интегрирования (I рода)

Это интегралы вида:

= F(

Аналогично,

56

C – произвольное число .

Пример 1. Вычислить

Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции, ограниченнaя кривой f(x)= и прямыми x = 0 , x = при равна 1, то есть S(

Y

A y=f(x)

0 x

П ример 2. Вычислить . Интеграл расходится, геометрически это значит, что площадь криволинейной трапеции неограниченно возрастает . Y

A B

0 1 x

58

Пример 3. Вычислить

= , интеграл сходится.

Y

1

0 x

Несобственные интегралы от неограниченных функций

). Функция y = f(x) терпит разрыв в точке x = b , тогда

,

b). Функция y = f(x) терпит разрыв в точке x = , тогда

, .

в). Функция y = f(x) терпит разрыв в точке x = с , с тогда

, , .

57

Примеры. Вычислить интегралы:

1.). Интеграл сходится.

2). , интеграл расходится.

3). + =

+ интеграл сходится.

Признаки сходимости несобственных интегралов

. Признак сравнения

Теорема 1. Пусть в интервале [ ,∞) функции f(x) и непрерывны и удовлетворяют неравенству 0 тогда

а) если сходится , то сходится и

б) если расходится, то расходится и .

Без доказательства.

Пример 1. Не вычисляя , исследовать сходимость интеграла

Решение. Функция = , для сравнения сами подберём функцию = , выполняется неравенство на [1, < , = интеграл сходится , значит сходится и интеграл от меньшей функции = .

Пример 2. Не вычисляя , исследовать сходимость интеграла →сходится, значит данный интеграл тоже сходится.

Теорема 2. Пусть функции f(x) и в [ непрерывны и удовлетворяют неравенству 0 имеют разрыв, тогда

а) если

б) если расходится , то расходится и интеграл

Аналогично , если разрыв в точке x = или в точке x = c

Пример. Не вычисляя , исследовать сходимость интеграла

Решение. = - 0 + интеграл сходится , значит сходится и данный интеграл.

58

. Предельный признак сравнения

Теорема. Если функции f(x) и c точностью до постоянного множителя эквивалентны в точке их разрыва или в бесконечно удалённой точке , то несобственные интегралы от этих функций сходятся или расходятся одновременно.

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла = = , интеграл расходится, поэтому расходится и данный интеграл.

Пример 2. Исследовать сходимость интеграла = , интеграл сходится , значит сходится и данный интеграл.