Производная по направлению

Пусть задана функция поля U = F (x,y,z)

38

z P(x,y,z)

P₁ P(x+

P Определение. Разность значений

функции u скалярного поля в точках

Р₁ и Р называется приращением

0 y функции u вдоль луча .

Обозначается :

x = F (x+ - F(x,y,z). .

Определение. Производной функции U = F(x,y,z) в точке Р по направлению луча называется .

При < 0 функция убывает; при > 0 функция возрастает.

Производная по направлению показывает скорость изменения функции в направлении . Как вычислять производную по направлению ?

Из чертежа имеем:

(1)

Так как функция U дифференцируема, то её приращение можно записать

, где – б.м.ф.

Подставим в это равенство значения из (1) .

Обе части этого равенства поделим на и перейдём к пределу при 0

0 (2)

Е сли совпадает с осью оx , то производная по направлению совпадает с частной производной по x , то есть = ⁰{1,0,0} , тогда поэтому = , аналогично , если совпадает с осью оy , то = .

Если поле плоское , то U = F(x,y) и

y

0 x

Пример. Найти производную функции U = x²-2x z+y² по направлению от точки

39

Р₁(1,2,-1) до точки Р₂(2,4,-3).

Р ешение. Направление Р₁Р₂ ( 1,2,-2) .

( .

Градиент скалярного поля

Определение. Градиентом скалярного произведения поля в точке Р(x,y,z) называется вектор

g rad u = F’_x (x,y,z) i + F’_y (x,y,z) j + F’_z (x,y,z)k или

Пример. Найти градиент функции U = x² + y² – z² в точке Р₀ (2,-1,1).

Решение.

g rad u = 2x + 4y - 2z , подставим координаты точки grad u = 4 - 4 - 2 .

Связь между градиентом и производной по направлению

Теорема. Проекция вектора на единичный вектор = равна производной функции U по направлению .

(1)

Доказательство. Пусть U = F(x,y,z). Из теории векторов имеем:

п , аналогично п =

F’ . ч.т.д.

С другой стороны п . Если вектор и совпадают по направлению , то , тогда = .

Вывод. есть вектор , показывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке , и имеющий модуль , равный скорости этого возрастания.

Пример. Найти наибольшую скорость возрастания функции z= x² y – 5y³ в точке (2,1).

Решение. - 15y² , в точке , = .

Ответ. Наибольшая скорость возрастания функции в точке равна ед.

40

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ , ОПРЕДЕЛЁННЫЙ , НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

ЛЕКЦИЯ 13. Понятие первообразной и неопределённого интеграла

Постановка задачи

В дифференциальном исчислении решали задачу : дана функция f(x) , найти её производную f’(x). Сейчас поставим задачу : дана функция f(x), найти такую функцию F(x), производная которой равнялась бы этой функции, то есть

F’(x) = f(x)

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) , если выполняется условие F’(x) = f(x) или dF(x) = f(x) dx.

Пример. Найти первообразную для функции f(x) = x² .

Решение. F(x) = , так как = x² , но и ’ = x² , то есть первообразная не единственная.

Вывод. Если для функции f(x) существует первообразная , то она не единственная.

Теорема. Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) , то всякая другая первообразная отличается от F(x) на постоянное число , то есть F(x) + C, где С = соnst.

Доказательство. Пусть F(x) и Ф(x) две первообразные для функции f(x) , тогда F’(x) = f(x) и Ф’(x) = f(x) , вычтем эти равенства F’(x) – Ф’ (x) = 0 , отсюда следует { F(x)-Ф(x)} ’ = 0 , а это значит , что F(x)-Ф(x) =С или F(x) + C = Ф(x) ч.т.д.

Определение. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) , то множество первообразных вида F(x) + C называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом

, где

f(x) подынтегральная функция , f(x)dx подынтегральное выражение.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

₁

Y ₂

₃

0 x

41

Вывод. Неопределённый интеграл есть множество кривых параллельных кривой y = F(x) и отстоящих от неё на расстояние, равное С.

Основные свойства неопределённого интеграла

1. Производная от неопредёлённого интеграла равна подынтегральной функции

( = ( F(x) + C )‘ = F’(x) = f(x)

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.

D

Знак дифференциала снимает знак интеграла.

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции + С.

d {по 2-му свойству} dF = dF ч.т.д.

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов.

Доказательство. Возьмём от обеих частей производные

( по 1-му свойству

f₁ (x) f₂(x) = f₁ (x) f₂(x) ч.т.д.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

6.

7.

8.

9. Теорема (об инвариантности формул интегрирования).

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от неё, то есть если то и , где u= .

Доказательство. Если то F’(x) = f(x) . Возьмём теперь F(u) = F[ , то dF(u) = F’(u)du = f(u)du , то есть С, то есть

Таблица основных формул интегрирования

1.

2.

3.

4. , n

5.

42

6.

7.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

11. 21.

12. 22.

13.

14. + c

15. + c

16.

17.

Примеры. Вычислить интегралы:

1). = {применим формулу(5)} =

2).

3.)

4). =

5).

6) .

7).

8).

9).

Вывод. Если числитель подынтегральной функции является производной от знаменателя , то интеграл равен логарифму абсолютной величины знаменателя.

Приведём вывод некоторых формул из таблицы.

= , аналогично

43

.

ЛЕКЦИЯ 14. Основные приёмы и методы интегрирования

Интегрирование методом разложения подынтегральной функции на сумму функций

Примеры. 1). Вычислить

2) Вычислить = = - 2 – (arcsin +c.

Использование формул тригонометрии

Примеры. 1). Вычислить dx=

2). Вычислить

3). Вычислить

I II . Интегрирование методом замены переменной ( или подстановкой)

П усть надо вычислить , сделаем замену переменной ,

тогда = .

Пример. Вычислить =

=3 .

Интегрирование по частям

d(u ,проинтегрируем обе части этого равенства

, по свойствам интеграла получаем

u или эта формула называется формулой интегрирования по частям , она применяется при вычислении интегралов следующего вида:

1). В этих интегралах u(x)= P(x)dv - всё остальное.

Пример. Вычислить интеграл = = +

2). ;

. В таких интегралах обозначают u(x) - трансцендентную

44

функцию ; dv – всё остальное.

Пример. Вычислить = - .

3). . Эти интегралы вычисляются двукратным интегрированием по частям.

П ример. Вычислить =

= = – . Перенесём все члены этого равенства в одну сторону и приведём подобные члены, получим ).

Замечание. В этом интеграле можно было принять за u = решение всё равно имело бы такой вид.

4). Интегралы вида : ; ; .

В ычислим = = - .

= +c

Аналогично можно получить

+c.

ЛЕКЦИЯ 15. Интегрирование рациональных дробей

Определение. Дробно –рациональной функцией или просто рациональной дробью называется функция вида R(x) = многочлен степени m , многочлен степени n. Например R(x) = .

Определение. Рациональная дробь называется правильной , если m < n , в

45

противном случае дробь называется неправильной.

Теорема. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена целоё степени и правильной рациональной дроби.

R(x) = L(x) + .

Пример 1. Представить неправильную R(x) = дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

x +5 R(x) = = (x+5) +

5

5x³ +10x -5

-2x²-15x

Таким образом интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочлена L(x) и правильной рациональной дроби , то есть

Интегрирование простейших рациональных дробей

1).

2). (n=2,3,4……..)

3). - эти интегралы представляют в виде суммы двух интегралов и путём выделения полных квадратов приводят к табличным.

4). - такие интегралы вычисляют с использованием специальных таблиц и по рекуррентным формулам .

Пример 1. Вычислить

= =

=

Пример 2. Вычислить =

=

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

Дана правильная рациональная дробь R(x) = ,

пусть Q(x) = (x- (x-b .

46

Теорема . Правильную рациональную дробь R(x) = можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей вида :

=

Без доказательства.

Метод неопределённых коэффициентов

Пример 1 . Разложить дробь R(x) = на простейшие по теореме

Решение. R(x) = = + +

+ + + .

Пример 2 . Разложить дробь R(x) = на простейшие и найти неопределённые коэффициенты.

Решение . R(x) = .

Приводим дроби к общему знаменателю и приравниваем числители .

= + ) +

Полагаем в последнем равенстве x = 1 ,получаем 5 =

Теперь применим метод неопределённых коэффициентов : сравним коэффициенты при одинаковых степенях переменной x .

1+ Решаем эту систему уравнений , находим

0 = , M = ; N = .

9 = -2

Ответ. R(x) = .

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение . Выписываем подынтегральную дробь R (x) = и раскладываем её на простейшие дроби , так как дробь неправильная сначала её представляем в виде многочлена целой степени и правильной дроби

1 R (x) = = 2x +

2 2x

1

= = 1 = A ( ) + B x ( ) + (Cx+D) в этом равенстве полагаем x= 0 , получаем 1 = 4A A = , дальше применяем метод сравнивания коэффициентов

47

0 = B +C = )dx

0 = A +D = - = dx + = - +C.

0= 3B B = 0;

Правило интегрирования рациональных дробей

1) . Если рациональная дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2). Разлагают знаменатель на простые множители .

3). Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших дробей.

ЛЕКЦИЯ 16. Интегрирование иррациональных функций

. Интегралы вида dx , где R – рациональная функция, подстановкой при-

водятся к интегрированию рациональной функции.

49

П ример. Вычислить = dt = =

=

. Интегралы вида подстановкой , где k - общее кратное m , n , p , приводятся к интегрированию рациональной дроби.

Пример . Вычислить =

= =

-2

-9

9

-27

= =

48

= -2 + 9 - 27 +C.

Интегралы вида подстановкой приводятся к интегралам от рациональной дроби.

. Тригонометрические подстановки.

Интегралы вида :

1). подстановками x = , (x = ,

2). подстановками x = , ( x = ) ,

3). подстановками x = )

приводятся к .

Пример 1. Вычислить .

50

Пример 2. Вычислить =

= .

. Обратная подстановка

Интегралы вида новкой приводятся к

интегралам от иррациональных функций.

48

Пример . Вычислить = =

= =

=- +C.

Интегрирование дифференциальных биномов ( подстановки Чебышева ) – великий русский учёный 1821 – 1894

1). P - целое число , подстановка x = , где s – н.о.к. знаменателей m и n.

49

Пример. Вычислить интеграл

=

= 4( ) + C.

2). P – дробь , но целое число , подстановка где s знаменатель дроби р .

Пример . Вычислить =

3) . p – дробь , - дробь , но +р - целое число , подстановка

где s – знаменатель дроби р.

Пример. Вычислить (

= -

ЛЕКЦИЯ 17. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида .

1). n - нечётное число , то cos x =t ; dt = - sinx dx .

2). m – нечётное число , то sin x = t ; dt = cos x dx.

Пример. Вычислить

50

3). m и n оба чётные , применяются формулы тригонометрии

si , co , sinx cosx =

Пример. Вычислить = =

= = x - x - x - .

. Интегралы вида

легко вычисляются с применением формул тригонометрии : cos mx cos nx =

sinmx sinnx = [-cos (m+n) x + cos (m-n) x]

sin mx cos nx = [ sin (m+n)x + sin (m-n)x ]

Пример. Вычислить

= -

. Интегралы вида преобразуются в R(x) c помощью подстановок :

1). Если p и q – нечётные или p+q – нечётная , то подстановка

t = tg = x = 2 rctg t dx =

sin x = cos x =

Определение. Подстановка t = tg называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример 1 . Вычислить = =

=

Пример 2. Вычислить = =

=

2). p и q – чётные или p+q – чётная , то подстановка

51

Пример . Вычислить =

= .

. Интегралы вида приводятся к табличным , если применить формулы тригонометрии:

t .

Пример. Вычислить

. Интегралы вида приводятся к рациональной дроби подстановкой : tg x = t ; x = ; dx =

Пример. Вычислить

= ; 1 = A(1+ , в последнем равенстве полагаем t = -1 , получаем: A = .

1 = A + C C =

0=B+C эти значения подставляем в интеграл.

= +

ЛЕКЦИЯ 18. Определённый интеграл

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть задана непрерывная функция y = f(x) на отрезке [ ].

y

0 x₁ x₂ x_n-1 b x

1). Разобьём отрезок [ на части : = x₀ , x₁ , x₂ ,…..x_n =b

[x₀ x₁] [x₁ x₂ ] …… [x_n-1 x_n ]

2). В каждом отрезке выберем произвольную точку .

3). Найдём значения функции в этих точках f( ) , площадь каждого прямоугольника f( ) ( x_i –x_i-1 ), а площадь всей фигуры – криволинейной тра-

52

пеции будет равна s - это интегральная сумма. Сумма криволинейной трапеции будет тем точней , чем меньше будут отрезки разбиения , поэтому

S =

(1)

О пределение. Предел интегральной суммы (1) называется определённым интегралом, и обозначается S = .

Если требуется вычислить площадь произвольной фигуры K ,

п омещаем эту фигуру в систему координат

C

y K S_k =

A B

0 D x

b

Если f(x) < 0 на отрезке [ то S = - .

Задача о массе стержня

Рассмотрим металлический неоднородный стержень на отрезке [0,S].

0 s₁ s₂ s_n s Плотность в каждой точке стержня

Масса стержня на этом отрезке определится по формуле

m= m_i = =

Аналогично , можно показать , что работа силы по перемещению находится по формуле A = , где f(s) – сила , s –путь.

Формула Ньютона – Лейбница

Теорема. Значение определённого интеграла равно приращению любой первообразной функции в интервале интегрирования , то есть

Доказательство. Разобьём отрезок [ на части x₁ = , x₂ , x₃ ,…x_n+1=b.

Составим очевидное равенство:

F(b)-F( x₂ ) - F( )) + (F(x₃ )-F(x₂ ) ) + (F (x₄ )-F(x₃ )) +…(F (b) –F ( x_n ) ) (1)

К каждому интервалу применим теорему Лагранжа о конечных приращениях.

F(x₂ ) – F( ) = F’(P₁ ) ( x₂ –

F(x₃ ) – F( ) =

……………………………………………………………

F(b) – F (x_n ) = F’ ( p_n ) = f ( p_n )

53

В равенстве (1) заменим разности , получим :

F (b) – F( ) = , перейдём к пределу

= , слева ; предел числа равен самому числу , справа - интегральная сумма , она равна определённому интегралу , то есть F (b) – F( ) = ч.т.д.