Министерство образования Российской Федерации

Математика

Приложения производной. Функции нескольких

переменных . Интегралы .

Дифференциальные уравнения

Конспект лекций за 2-й семестр для технических

специальностей

Издательство

Национального Исследовательского Иркутского государственного

технического университета

2011

Рецензент : канд. физ.-мат. наук, доцент А.В. Колокольчиков

Приложения производной. Функции нескольких переменных. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Конспект лекций за 2-й семестр для технических специальностей ./ Сост. В.А.Труппова, Б.В. Агалаков. – Иркутск : Изд-во НИ ИрГТУ, 2011. 92с.

Работа содержит материал лекций, прочитанный для студентов первого курса во втором семестре факультетов строительного и кибернетики. Эти разделы математики изучаются и на всех специальностях нашего университета, работа может быть использована преподавателями и студентами всех специальностей в процессе изучения математики. Настоящий конспект является продолжением конспекта лекций, изданного в 2010 году за 1-й семестр.

Чистая математика в своём современ-

ном развитии может претендовать

на положение наиболее оригиналь-

ного творения человеческого разума

Альфред Уайтхед

ПРИЛОЖНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ЛЕКЦИЯ 1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.

Правило Лопиталя

Теорема Ферма. Если функция f(x) определена в ( ,b) и принимает в некоторой точке x = c наименьшее или наибольшее значение, то .

(без доказательства).

Г еометрически: y

0 c b x

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на [ , дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах [ обращается в ноль, то есть f( = f(b) =0 , то её производная f’(x) обращается в ноль хотя бы в одной внутренней точке x = c [ .

y

0 c b x

П ример. [ 0, , y = sin x. sin0 =sin = 0. f’(x) = cos x в точке x = обращается в ноль , то есть f’( ) = 0 . y

0 x

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на [ и дифференцируема во всех внутренних точках, то внутри этого сегмента найдётся хотя бы одна точка x = c , такая , что имеет место равенство = f’(c) или

3

Геометрически . y

= k_AB =tg M B f’(c) = tg = k_кас.

Касательная хорде. А

0 c b x

Теорема Коши. Если функции f(x) и непрерывны на [ и дифференцируемы во всех внутренних его точках , причём найдётся точка с , что имеет место равенство

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

Правило Лопиталя

Теорема. Если f(x) и - дифференцируемые функции на[ , удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке x = , то есть f( = , тогда

Доказательство. Возьмём на [ точку x , применим теорему Коши

, , [ , так как f( , то , если x , поэтому ч.т.д.

Замечание. Эта теорема справедлива и при x x применяется для раскрытия неопределённостей вида ,

Примеры. Вычислить пределы.

1 ).

2 ).

3). .

4). Обозначим y = ; логарифмируем обе части последнего равенства ]= .

= →

4

y =

Ответ. = 1

ЛЕКЦИЯ 2. Исследование поведения функций и построение графиков

Признаки монотонности функции

Определение. Функция y = f(x) , определённая в сегменте или интервале называется возрастающей , если из неравенства x₂ > x₁ , следует f(x₂) > f(x₁).

x₂ – x₁ = ; f(x₂ ) – f(x₁ ) = ; , в этом случае.

Определение. Функция y = f (x) называется убывающей в интервале , если для любых x₁ , x₂ из этого интервала x₂ < x₁ , следует f( x₂) > f( x₁).

В этом случае < 0.

Определение. Функции только убывающие и только возрастающие на интервале называются монотонными.

Теорема 1. ( Необходимое условие возрастания функции.)

Если дифференцируемая в ( ) функция y = f(x) возрастает , то её производная f’(x) для всех x из ( ).

Доказательство. Пусть y = f(x) возрастает на ( ),тогда для любых точек x и x+ выполняется >0 , ч.т.д.

Теорема 2. (Необходимое условие убывания функции.)

Если y = f(x) убывает на( ), то её производная f’(x) <0 для всех x из ( ).

Д оказательство геометрически.

Y В каждой точке тупые углы касательных с

осью ох, а тангенсы тупых углов , тог-

да и f’(x)<0 ч.т.д.

0 x

Теорема 3. ( Достаточное условие возрастания функции.)

Если непрерывная на( ) функция y = f(x) в каждой точке имеет положительную производную , то эта функция возрастает на ( ).

Доказательство. Пусть f’(x) > 0 для любого x ( ). Рассмотрим два значения x₂ и x₁ ( ), x₂ > x₁ . Напишем формулу Лагранжа для [ x₂ , x₁ ].

f(x₂) – f(x₁) =(x₂ - x₁ ) f’(c) , x₂ <c <x₁ , так как f’(x) > 0 и (x₂ - x₁ )> 0 , то и f(x₂) – f(x₁)>0 , отсюда f(x₂) > f(x₁) и функция возрастает на ( ).

Теорема 4. ( Достаточное условие убывание функции.)

Если непрерывная на ( ) функция y = f(x) в каждой точке имеет отрицательную производную, то эта функция убывает на ( ).

5

Доказательство аналогичное теореме 3.

Пример. Найти интервалы монотонности функции y = x³ – 3x.

Решение. 1) о.д.з. (- ; 2) y’ = 3x² – 3 x² -1 (x – 1) (x +1)>0

0 Ответ: возрастает в интервалах (- ; ( 1 ; )

-1 1

Максимум и минимум функции

Определение. Функция y = f (x ) имеет в точке x = c максимум(m x) , если значение функции f (x) в точке x = c больше , чем её значения во всех точках некоторого интервала , содержащего точку x = c , то есть f( c) > f ( x)

Определение. Функция y = f (x ) имеет в точке x = c минимум(min) , если значение функции f (x) в точке x = c меньше, чем её значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x = c , то есть f( c) < f ( x)

Определение. max и min функции называются локальными экстремумами функции.

Теорема 1. Необходимый признак существования экстремума функции.

Если дифференцируемая в точке x = c функция y = f(x) имеет в этой точке max или min , то её производная в точке x = c обращается в нуль f’(c) = 0 или не существует.

Доказательство. Пусть y = f (x) имеет в точке x = c max , тогда по определению f (x ) < f (c ) для , так как функция дифференцируема , то по теореме Ферма должно быть f’( c ) = 0 ч.т.д.

Определение. Точки , в которых первая производная равна нулю или не существует , называются критическими точками.

Теорема 2. Первый достаточный признак существования

экстремума функции

Если непрерывная функция y = f(x) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку x = c и при переходе аргумента слева направо через критическую точку x = c производная меняет знак с «+» на «-» , то в точке x = c функция имеет max , а с «- » на «+» в точке x=c функция имеет min.

Теорема 3. Второй достаточный признак существования

экстремума функции. ( Правило чаши)

Пусть в точке x = c f’ (c) = 0 , а f’’ (c ) отлична от нуля , то есть f’’(c ) , тогда , если f’’( c)< 0 , то x = c - точка максимума, если f’’(c ) > 0 , то точка x = c - точка минимума.

Этот признак наглядно запоминать легче , используя чашу.

6

f’’ ( c )< 0 , вода из чаши f’’(c )>0 , вода в чаше есть мини- вылилась максимум. мум.

Доказательство. Пусть f’’ (c ) < 0 , покажем , что max.

f’’ ( c) = , так как f’(c ) = 0 , то f’’ ( c) = <0 , по предположению , то есть < 0 . Пусть ,тогда f’ (c+ x) >0 , если , то f’ (c+ x )<0 . Это значит, что при переходе через точку x = с знак первой производной меняется с «+» на «-» это максимум. Аналогично доказывается , если f’’ (c) >0 , то минимум.

Пример . Найти экстремум функции f (x) = x – 2 sin x на [ 0 , 2

Р ешение. 1) область существования ( - 2) f’(x) = 1 – 2 cos x = 0 cos x = x₁ = , x₂ = . 3) f’’( = 2 sin = >0 ,вода есть - min. f’’( ) = 2 sin = - , вода вылилась - max.