1.10Алгебра Жегалкина

1. Определение алгебры Жегалкина

Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операциями: конъюнкцией (), сложением по модулю 2 () и константой единицы (1) называется алгеброй Жегалкина.

2. Преобразование функций в алгебре Жегалкина

Здесь справедливы следующие законы:

1. коммутативный: x  y = y  x;

x y = y x,

2. ассоциативный: x  (y  z) = (x  y)  z;

x (y z) = (x y) z,

2. дистрибутивный: x (y  z) = x y  х z,

но: x  (y z)  (x  y) (х  z).

Действуют соотношения: х х = х,

x  х = 0,

х 1 = х,

x  1 =  х,

х 0 = 0,

x  0 = х.

Связь с булевым базисом осуществляется по следующим соотношениям:

x  y =  х y  x y;

х  y =  ( х  y) = (x  1) (y  1)  1 = x y  x  y.

3. Переход от булевой алгебры к алгебре Жегалкина

Если в СДНФ логической функции заменить операцию дизъюнкцию на операцию сложения по модулю 2, то равенство функций сохранится. В результате получим СПНФ – совершенную полиномиальную нормальную форму логической функции.

Пример: Дана СДНФ функции F =  (0, 3, 6).

Т.е. СДНФ: F =  x₁  x₂  x₃   x₁ x₂ x₃  x₁ x₂  x₃ .

Тогда СПНФ будет: F =  x₁  x₂  x₃   x₁ x₂ x₃  x₁ x₂  x₃ .

Если в СПНФ логической функции заменить все переменные с отрицанием по правилу  х = x  1, раскрыть скобки и привести подобные по правилу x  х = 0, то получим, так называемый, канонический полином Жегалкина в следующем виде:

a₀  a₁ x₁  a₂ x₂  a₃ x₁ x₂  …  a_n x₁ x₂ x₃,

где а_i = (0, 1).

Пример: В нашем случае канонический полином Жегалкина будет:

F = (x₁  1) (x₂  1) (x₃  1)  (x₁  1) x₂ x₃  x₁ x₂ (x₃  1) =

= x₁ x₂ x₃  x₂ x₃  x₁ x₃  x₁ x₂  x₁  x₂  x₃  1 

 x₁ x₂ x₃  x₂ x₃  x₁ x₂ x₃  x₁ x₂ = x₁ x₂ x₃  x₁ x₃  x₁  x₂   x₃  1.

Примечание: Для всякой логической функции существует канонический полином Жегалкина, и при этом, только один.

1.11Задания, выполняемые в расчетно-графической работе

Перед выполнением задания необходимо определить свой вариант булевой функции. С этой целью переведите номер по списку в группе в двоичную систему счисления и запишите его в виде слова а ₅ а ₄ а ₃ а ₂ а ₁.

1. Для заданной в таблице 1.16 функции с учетом подстановки значений а_i:

- найти с помощью карт Карно МДНФ и МКНФ;

- записать заданную функцию во всех восьми операторных нормальних формах;

- построить комбинационные схемы, реализующие заданную функцию на основе трехвходовых элементов И – НЕ и ИЛИ - НЕ;

- для полученных схем указать операторную запись функции, количество N элементов в схеме, уровень схемы L (максимальное число последовательно соединенных элементов).

2. Построить на трехвходовых логических элементах И – НЕ и ИЛИ – НЕ уомбинационные схемы, рализующие систему четырех функций от четырех переменных в соответствии с таблицей 1.17.

Определить для полученных схем значения N и L.

Таблица 1.16 – Функция четырех переменных

x1 x2 x3 x4	у
0 0 0 0	0

Продолжение таблицы 1.16

0 0 0 1	0
0 0 1 0	a1
0 0 1 1	1
0 1 0 0	a2
0 1 0 1	1
0 1 1 0	0
0 1 1 1	0
1 0 0 0	a3
1 0 0 1	a4
1 0 1 0	1
1 0 1 1	1
1 1 0 0	a5
1 1 0 1	1
1 1 1 0	1
1 1 1 1	0

Таблица 1.17 – Система функций

x1 x2 x3 x4	y1 y2 y3 y4
0 0 0 0	0 1 1 1
0 0 0 1	0 0 0 0
0 0 1 0	0 1 1 0
0 0 1 1	0 0 0 0
0 1 0 0	1 0 0 a1
0 1 0 1	0 1 0 0
0 1 1 0	1 0 0 a2
0 1 1 1	0 1 1 1
1 0 0 0	1 1 1 a3
1 0 0 1	1 1 1 1
1 0 1 0	1 1 1 a4
1 0 1 1	1 1 1 1
1 1 0 0	0 0 0 0
1 1 0 1	1 0 1 1
1 1 1 0	0 0 0 a5
1 1 1 1	1 0 1 1

3. Построить комбинационную схему в базисе Жегалкина{, , 1}. С этой целью логическую 21ункцію, заданную таблицей истинности (таблица 1.18), представить полиномом Жегалкина.

Таблица 1.18 – Функция для базиса Жегалкина

x1 x2 x3	у
0 0 0	a1
0 0 1	1
0 1 0	a2
0 1 1	a3
1 0 0	1
1 0 1	a4
1 1 0	a5
1 1 1	0