1. Матрицы. Действия над матрицами.

Матрица- таблица чисел с m-строк и n-столбцов.

a_ij – элемент матрицы, i-строка, j-столбец.

Умножение матрицы на число.

Сложение(вычитание) матриц.

Произведение матриц.

Транспонирование матрицы.

Нахождение определителя. \⁺ /^-

• Если ∆=0, то матрица вырожденная.

• Если ∆≠0, то матрица невырожденная.

2. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

А^-1-обратная матрица по отношению к А, если верны равенства:

А^-1 A = E

А  А^-1 = E

Найти Х.

А^-1 A = E

А^-1 A  Х = А^-1 В

ЕХ= А^-1 В

Х= А^-1 В – решение системы матричным способом.

3. Правило Крамера.

4. Векторы. Действия над векторами.

Вектор- величина, кот. характеризуется значением численным и направления.

Умножение вектора на число.

С ложение векторов. Вычитание векторов

Проекция вектора на ось.

Координаты вектора в пространстве.

x=Пр_ox

y=Пр_oy

z=Пр_oz

Длина вектора.

Умножение на число

Сложение векторов.

Скалярное произведение векторов.

Угол между двумя векторами.

Разложение вектора по базису пространства.

– базис пространства

Скалярное произведение двух векторов в координатах.

5. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения векторов.

Свойства:

• 

• 

• 

• 

6. Скалярное произведение векторов, заданных координатами.

7. Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного произведения.

Свойства:

• 

• 

• 

• Если

• 

8. Векторное произведение векторов, заданных координатами.

9. Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.

Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах.

10. Формула вычисления смешанного произведения.

11. Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

• Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

y=kx+b, k=tg α – угловой коэффициент

• Уравнение прямой, проходящей через точку плоскости в заданном направлении.

K – известен

M₁(x₁;y₁) – фиксированная точка плоскости

M₁ удовлетворяет уравнению y=kx+b

y₁=kx₁+b, b= y₁+kx₁

y=kx+y₁-kx₁

y- y₁=k(x- x₁) – уравнение прямой, проходящей через M₁ в заданном направлении.

• Уравнение прямой проходящей через 2 точки плоскости.

12. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

𝟐цыитель ера.м способом. ию к А, если верны равенства: пособом. y₁=k₁x+b₁

y₂=k₂x+b₂

Найти tgα.

• Условие параллельности.

I || II => α=0 => tgα=0 => k₁-k₂=0

k₁=k₂ – условие параллельности прямых.

• Условие перпендикулярности.

I  II => => =>1+ k₁-k₂=0

13. Нормальное уравнение прямой.

M (x;y) – текущая точка прямой

14. Расстояние от точки до прямой.

M₀(x₀; y₀) - фиксированная точка плоскости

d- расстояние от M₀ до прямой

l: x₀cosα+y₀sinα-p-d=0

d=x₀cosα+y₀sinα-p =>

15. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости.

M₁(x₁; y₁; z₁) – фиксированная точка плоскости

M(x; y; z) – текущая точка плоскости

A(x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=0

Ax+By+Cz-Ax₁-By₁-Cz₁=0

Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости.

Неполные уравнения плоскости.

• Ax+By+Cz=0 – проходит через начало координат

• By+Cz+D=0 – параллельно оси ОХ.

• Ax+Cz+D=0 – параллельно оси ОУ.

• Ax+By+D=0 – параллельно оси OZ.

• By+Cz =0 – содержит ось ОХ.

• Ax +Cz=0 – содержит ось ОУ.

• Ax+By =0 – содержит ось OZ.

• Cz+D=0 – параллельно плоскости XOY.

• Ax +D=0 - параллельно плоскости YOZ.

• By +D=0 - параллельно плоскости XOZ.

• Cz=0 => z=0 – плоскость XOY.

• By =0 => y =0 – плоскость XOZ.

• Ax =0 => x =0 – плоскость YOZ.

16. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

I: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

II: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

– угол между плоскостями.

Условие параллельности.

I || II => =>

Условие перпендикулярности.

I  II => =>

17. Уравнение плоскости проходящей через три точки.

M₁(x₁; y₁; z₁)

M₁(x₁; y₁; z₁)-фиксированные точки плоскости

M₁(x₁; y₁; z₁)

M(x; y; z) – текущая точка плоскости

- компланарные векторы

18. Расстояние от точки до плоскости.

M₀

19. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.

Каноническое уравнение.

M₁(x₁;y₁;z₁) – фиксированная точка прямой

M(x;y;z)- текущая точка прямой

Параметрическое уравнение.

20. Уравнение прямой проходящей через две точки пространства.

M₁(x₁;y₁;z₁) – фиксированная точка прямой

M₂(x₂;y₂;z₂) – фиксированная точка прямой

M(x;y;z)- текущая точка прямой

21. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности.

I:

II:

Условие параллельности.

I || II => =>

Условие перпендикулярности.

I  II =>

22. Прямая, как линия пересечения двух плоскостей.

I : A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

II: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

I : A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

II: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

z=0 =>

A ₁x+B₁y +D₁=0

A₂x+B₂y +D₂=0

k(x₁; y₁; 0)

23. Точка пересечения прямой и плоскости.

α: Ax+By+Cz+D=0

; y; z)

24. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.

α: Ax+By+Cz+D=0

25. Эллипс. Вывод канонического уравнения.

Э ллипс – геометрическое место точек, для кот. cумма расстояний до двух данных точек постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть:

F₁, F₂ – фокусы

F₁(-c; 0), F₂(c; 0)

F₁F₂=2c

M(x; y) – текущая точка эллипса

F₁M+F₂M=2a

Вывод канонического уравнения.

26. Гипербола. Вывод канонического уравнения.

Гипербола – геометрическое место точек, для кот. разность расстояний от 2-х фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина.

F₁M-F₂M=2a

2a<2c

M(x; y) – текущая точка гиперболы

F₁, F₂ – фокусы

F₁(-c; 0), F₂(c; 0)

Вывод канонического уравнения.

27. Парабола. Вывод канонического уравнения.

Парабола – геометрическое место точек, для каждой из кот. расстояние до некоторой точки (фокуса) равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

r=d

M(x; y)

Вывод уравнения параболы.

r=d

y²=2px – парабола ветви вправо

y²=-2px – парабола ветви влево

x²=2py – парабола ветви вверх

x²=-2py – парабола ветви вниз

28. Абсолютная величина. Ее свойства.

Свойства:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

29. Числовая последовательность. Предел последовательности.

Числовая последовательность – бесконечный ряд чисел, каждое из кот. зависит от своего порядкового номера.

u_n – общий элемент последовательности

Предел последовательности (А) – для любого малого числа Е можно указать такой номер N элемента числовой последовательности, начиная с которого выполняется неравенство .

30. Предел функции непрерывного аргумента. Определение.

При х→х₀

Число А это предел функции f(x) при х→х_0, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е существует такое число ∆(дельта), зависящее от Е положительное, то выполняется неравенство | х-х₀|<E => |f(x)-A|<1

При х→∞

31. Бесконечно малая величина. Определение.

Бесконечно малая величина - числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

y=f(x), если

32. Бесконечно большая величина. Определение.

Бесконечно большая величина - числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

y=f(x), если

33. Теоремы о бесконечно малых величинах.

• Сумма конечного числа бесконечно малых величин — бесконечно малая величина.

• Произведение бесконечно малых величин— бесконечно малая величина.

• Произведение бесконечно малой величины на константу — бесконечно малая величина.

• Если  — бесконечно малая последовательность, то  — бесконечно большая последовательность.

34. Теоремы о связи понятий предела и бесконечно малой величины.

1. Если А является пределом функции y=f(x), то эту функцию можно представить в виде суммы A+α(x), где α(x)- бесконечно малая величина.

Доказательство:

Обозначим , тогда

2. Если функция y=f(x) может быть представлена в виде суммы, тогда f(x)=A+ α(x), где α(x)- бесконечно малая величина, то

Доказательство:

f(x)=A+ α(x)

α(x) – бесконечно малая величина =>

35. Теоремы о пределах.

1. Предел суммы функций, имеющих конечные пределы, равен сумме пределов этих функций.

2. Предел произведения функций, имеющих конечные пределы, равен произведению пределов этих функций.

3. Предел частного функций, имеющих конечные пределы, равен частному пределов этих функций.

36. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.

*Первым делом нужно подставить в выражение, предел которого находится, значение переменной, к которой оно стремится.

Для раскрытия неопределённостей типа   используется следующий алгоритм:

Выявление старшей степени переменной.

Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа  уществует следующий алгоритм:

Разложение на множители числителя и знаменателя.

Сокращение дроби.

37. Первый замечательный предел. Следствия из него.

Следствия:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

38. Второй замечательный предел. Следствия из него.

Следствия:

• 

• 

• 

39. Сравнение бесконечно малых величин.

Если , то α(x)- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .

Если , то α(x) и β(x)- бесконечно малые величины одного порядка.

Если α(x) и β(x)- эквивалентные бесконечно малые величины.

40. Определение непрерывности функции в точке. Односторонние пределы.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует   , равный значению функции f(x) в этой точке:

41. Определение производной. Геометрический смысл производной.

Производная – предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆x→0.

Геометрический смысл производной – значение производной в точке касания равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции к этой точке и положительным направлением оси OX.

42. Правила дифференцирования.

• Производная постоянной равна нулю.

(С)'=0

• Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

(Cu(x))'=Cu'(x)

• Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

(u(x)+v(x))'= u' (x) + v' (x)

• Производная произведения двух дифференцируемых функций равна производной первого сомножителя, умноженной на неизменный второй, плюс неизменный первый на производную второго.

(uv)'= u'v+v'u

• Производная частного двух дифференцируемых функций равна производсной числителя, умноженной на неизменный знаменатель, минус неизменный числитель, умноженный на производную знаменателя, разделить на квадрат знаменателя.

43. Производная обратной функции.

Если функция y=f(x) имеет обратную функцию х=u(y) – непрерывную и существует u' (x) на (e; d), тогда f'(x)= .

Доказательство:

44. Производная сложной функции.

Сложная функция - y=f(x) такая, что ее можно представить в виде y=F(u), где u= (y)- промежуточный аргумент.

y=F( )

Если функция u= (y) имеет производную в точке х , а функция y=f(u) имеет производную , тогда функция y=F(u(x)) имеет производную .

(f(g(x)))'=f'∙(g(x))∙g'(x)

45. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций. 

46. Т еорема Ролля.

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке [a; b] и дифференцируемая на интервале (a; b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

47. Теорема Лагранжа.

Е сли функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), тогда существует точка с  (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) .