леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-10

35

Дифференцируемость функций нескольких переменных.

Для простоты записи, мы дадим определение дифференцируемости действительнозначной функций двух и трех переменных.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

. (1)

При этом линейная часть приращения дифференцируемой функции называется ее дифференциалом в точке , что записывается как

.

Замечание.

,

где - бесконечно малые функции при .

Доказательство.,

поскольку . С другой стороны,

.

Поэтому мы, в зависимости от удобства, будем пользоваться любой формой записи остатка, а именно, кроме записи (1) еще и

.

Если , то . То есть в случае независимой переменной . Аналогично . Поэтому дифференциал часто записывают в виде

.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

.

При этом линейная часть приращения дифференцируемой функции называется ее дифференциалом в точке , что записывается как

.

Замечание.

,

где - бесконечно малые функции при .

Если , то . То есть в случае независимой переменной . Аналогично и . Поэтому

.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Утверждение. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Функция непрерывна в точке , если . Если же функция дифференцируема в данной точке, то

.

Обратное неверно, а именно, существуют непрерывные в точке функции, недифференцируемые в этой точке.

Пример. Рассмотрим функцию в нуле. Очевидно, что

,

то есть функция непрерывна в нуле. Если бы она была в нуле еще и дифференцируемой, то было бы

,

то есть

.

Положим , и пусть , тогда

.

В таком случае

.

Последний предел, как нам известно, не существует, поскольку

.

Частные производные функции нескольких переменных.

Опять остановимся на случае действительнозначной функции двух переменных.

Определение. Частным приращением функции в точке , соответствующим приращению переменной называется величина

.

Аналогично определяется частное приращение

.

Определение. Частной производной функции по переменной в точке называется предел (если он существует)

.

Аналогично определяется частная производная по переменной :

.

Связь между непрерывностью, дифференцируемостью функции и существованием ее частных производных.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то у нее существуют обе частные производные , причем

.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то

,

а если , то

,

поэтому

.

Аналогично получаем

.

Из существования частных производных непрерывность и дифференцируемость функции, вообще говоря, не вытекает, что мы продемонстрируем на следующем примере.

Пример. Рассмотрим функцию двух переменных

.

Эта функция, как нам известно, разрывна в нуле, а, следовательно, и не дифференцируема в нем. Тем не менее, имеем

.

Аналогично можно показать, что .

Справедлива, однако, следующая теорема.

Теорема. Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки . Тогда она будет дифференцируема в этой точке.

Доказательство. Представим полное приращение функции в виде

.

Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции лишь по одной переменной. Применяя к каждой из этих разностей формулу конечных приращений, получим

.

Из непрерывности частных производных в окрестности точки следует, что

,

,

где - бесконечно малые функции при . Используя полученные выражения, получим

.