леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-9

33

Предел и непрерывность функции многих переменных.

Определение. Пусть дана функция , с областью определения и множеством значений . Говорят, что вектор является пределом функции при и пишут , если для любого положительного найдется такое положительное такое, что образ проколотой окрестности будет принадлежать окрестности , то есть

.

Поскольку, в основном, нас будут интересовать пределы действительнозначных функций двух и трех переменных, распишем подробно определения предела функции для этих двух случаев.

Определение. Пусть дана функция с областью определения и множеством значений . Говорят, что точка является пределом функции при и пишут или, если

.

Определение. Пусть дана функция с областью определения и множеством значений . Говорят, что точка является пределом функции при и пишут , если

.

Пример 1. .

Доказательство. Если , то . Поэтому для того, чтобы достаточно взять .

Пример 2. Не существует предела функции при .

Доказательство. В самом деле, рассмотрим поведение функции на прямой при :

,

откуда мы видим, что при стремлении к нулю по разным направлениям, мы получим разные предельные значения для функции, а это означает, что общего предела не существует.

Определение. Скажем, что функция непрерывна в точке , если .

Пример 3. Функция непрерывна в нуле.

Для непрерывных функций многих переменных справедливы многие из теорем, доказанных нами для функций одной переменной. В частности, справедливы теоремы об арифметических действиях с непрерывными функциями, о непрерывности сложной функции:

Теорема. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция будет непрерывной в точке .

Что касается функций многих переменных, заданных аналитическими выражениями, то вопрос об их непрерывности можно свести к непрерывности функций одной переменной с помощью следующего приема.

Утверждение. Пусть функция непрерывна как функция одной переменных на промежутке , тогда будет непрерывной как функция двух переменных в полосе .

Пример 4. Рассмотрим функцию двух переменных . Функции непрерывны как функции одной переменной на всей оси ( или ), следовательно, они непрерывны как функции двух переменных на всей плоскости; функция непрерывна как произведение непрерывных функций, а непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции. Наконец, частное непрерывных функций непрерывно везде, за исключением точки .

Справедливы также следующие теоремы.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то функция ограничена на этом множестве.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то она достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней границ.

Теорема (Кантора). Если функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то она равномерно непрерывна на нем, то есть

.

Аналогом теоремы Коши о промежуточном значении непрерывной функции является следующая теорема, которую мы докажем в двухмерном варианте (идеологически ничем не отличающимсяся от мерного).

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна в некоторой связной области. Если в двух точках и , принадлежащих ,функция принимает значения разных знаков (), то в этой области найдется точка , в которой .

Доказательство. Рассмотрим ломаную с узлами в точках , целиком принадлежащую области . Если все значения отличны от нуля, то выберем звено , на концах которого функция меняет знак. Такое звено обязательно найдется. В самом деле, рассмотрим произведение

.

Это означает, что среди произведений найдется хотя бы одно отрицательное.

Итак, пусть . Рассмотрим значения функции на отрезке : .

Функция одной переменной непрерывна на отрезке (по теореме о непрерывности сложной функции) и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков: . По теореме Коши о промежуточном значении непрерывной функции найдется точка , в которой . Тогда в точке получим .

Повторные пределы.

Этот тип предела мы определим для случая функции двух переменных.

Определение. Пусть функция определена на множестве , и пусть для каждого существует предел .

Если существует предел , то он называется повторным пределом и обозначается как .

Другой повторный предел получается, если предельные переходы произвести в обратном порядке.

Из существования повторных пределов, вообще говоря, не следует существования предела по совокупности переменных, что видно из следующего примера.

Пример 5. Рассмотрим функцию , определенную при . Нетрудно убедиться в существовании повторных пределов: , аналогично .

Предела же при не существует (пример 2).

Можно показать также, что повторные пределы не обязательно равны и не обязательно существуют при существования предела по совокупности переменных. Однако связь между ними есть. Докажем следующую теорему.

Теорема. Если существует (конечный) двойной предел , и при любом существует (конечный) простой предел по , то существует повторный предел

.

Доказательство. Фиксируем произвольное и выберем так, чтобы из того, что и следовало бы. Переходя в этом неравенстве к пределу при , получим .

Следовательно, .

Аналогичная теорема верна и для другого повторного предела.