2

Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной по отношению к функции на некотором промежутке, если на этом промежутке функция дифференцируема и удовлетворяет уравнению или, что то же самое, соотношению .

Определение. Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается . Произведение называется подынтегральным выражением, а функция - подинтегральной функцией. Из определения неопределенного интеграла вытекает

.

Нам понадобится следующий, уже доказанный нами факт, характеризующий множество первообразных данной функции на данном промежутке.

Утверждение. Если и - две первообразные функции на одном и том же промежутке, то их разность постоянна на этом промежутке.

Таким образом, если какая-либо первообразная функции , то .

Таблица основных интегралов

Докажем, например, формулу , в самом деле,

.

Задача. Доказать остальные формулы.

Простейшие правила интегрирования

Линейность неопределенного интеграла.

.

Равенство проверяется непосредственным дифференцированием.

Пример 1. .

Интегрирование по частям.

Утверждение. Пусть функции и непрерывно дифференцируемы на промежутке , тогда справедлива формула

.

Доказательство. Непосредственным дифференцированием проверяется формула

,

откуда получаем нужную.

Эта формула в краткой записи выглядит следующим образом: .

Пример 2.

Замена переменной в неопределенном интеграле.

Утверждение. Пусть функция является первообразной функции на промежутке , а функция определена и дифференцируема на промежутке , причем

.

Тогда справедлива формула

.

Доказательство. Проверяем формулу, дифференцируя сложную функцию :

.

Последняя формула показывает, что при отыскании первообразной функции можно поступить следующим образом:

.

Пример 3. .

Пример 4.

.