леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-11

36

Касательная плоскость к явно заданной поверхности.

Определение. Пусть - поверхность, содержащая точку . Плоскость , проходящая через точку , называется касательной к поверхности , если расстояние от точки до плоскости , при стремлении к нулю, есть бесконечно малая высшего порядка, чем (то есть ).

Возьмем поверхность, являющуюся графиком функции , дифференцируемой в точке , и покажем, что плоскость , заданная уравнением

,

будет касательной к нашей поверхности в точке . В самом деле, расстояние от точки , поверхности до плоскости равно

,

поскольку дифференцируема в , а

.

Получаем

при . То есть - касательная плоскость.

Таким образом, видим, что в случае функции двух переменных дифференциал – приращение координаты касательной плоскости.

Если пересечь поверхность и касательную плоскость плоскостью, параллельной оси , то в сечении получится кривая и касательная к ней прямая. В частности, в сечении поверхности плоскостями и получатся кривые, угловые коэффициенты которых равны, соответственно, и . Таким образом, частная производная функции по переменной характеризует рост этой функции в направлении оси (оси ).

Если поверхность задана неявно уравнением

,

где функция дифференцируема в точке , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке выглядит следующим образом

.

(без доказательства)