Вопрос 3. Систематические погрешности

Наличие систематических погрешностей искажает результаты измерений. Их отсутствие определяет правильность измерений – качество, отражающее близость к нулю систематических погрешностей. Основная трудность – обнаружение систематических погрешностей с последующей их полной или частичной компенсацией.

Результаты наблюдений, полученные при наличии систематической погрешности, называются неисправленными. При проведении измерений стараются исключить или учесть влияние систематической погрешности.

Все имеющиеся методы можно разделить на методы выявления и исключения систематических погрешностей.

Методы выявления (обнаружения) позволяют обнаружить систематические погрешности, связанные с действием определенных факторов.

Для обнаружения переменных систематических погрешностей можно использовать точечные диаграммы. Их анализ является сравнительно простым и достаточно эффективным средством, позволяющим выявлять и оценивать переменные систематические погрешности.

Точечную диаграмму строят в координатах «результат измерения X – номер измерения n». Идеальная точечная диаграмма должна состоять из точек, располагающихся на одинаковой высоте, которая соответствует истинному значению измеряемой физической величи-ны Q. Тенденции изменения результатов на точечной диаграмме свидетельствуют о наличии переменных систематических погрешностей и дают возможность провести соответствующую аппроксимирующую линию. Вид используемой аппроксимации соответствует характеру систематических погрешностей. Отклонения результатов от аппроксимирующей линии могут рассматриваться как случайные составляющие погрешности измерения. Для выявления систематической погрешности применяют специальные статистические методы. К ним относятся способ последовательных разностей Аббе, дисперсионный анализ и др.

Способ последовательных разностей (критерий Аббе). Применяется для обнаружения изменяющихся во времени систематических погрешностей (МИ 2091–90). Дисперсию результатов наблюдений можно оценить двумя способами

; (47)

. (48)

При использовании критерия Аббе считают, что в результатах есть систематическая составляющая погрешности измерений, если

, (49)

где – критическое значение критерия Аббе, найденное при определенном уровне значимости и числе наблюдений.

Если полученное значение критерия Аббе меньше критического, то в результатах наблюдений обнаруживается переменная систематическая погрешность.

Дисперсионный анализ (критерий Фишера). Применяется для выявления систематической погрешности результатов наблюдения под действием какого-либо фактора (например температуры, давления и др.). Для этого проводят несколько серий ( ) по измерений в каждой при различных значениях влияющего фактора. Всего измерений.

Рассчитывают внутрисерийную и межсерийную дисперсии. Внутрисерийная рассчитывается как средняя сумма дисперсий результатов наблюдений в каждой серии

, (50)

где , – результат i-го измерения в j-й серии.

Усредненная межсерийная дисперсия будет зависеть не только от случайных погрешностей, но и от систематических различий между результатами наблюдений в различных сериях. Она рассчитывается по формуле

, (51)

где .

Критерием наличия систематических погрешностей является критерий Фишера . Если , где – критическое значение критерия Фишера, найденное по таблице распределения Фишера при определенном уровне значимости и степенях свободы и , то обнаруживается систематическая погрешность, вызываемая тем фактором, по которому группировались результаты наблюдений.

Если закон распределения результатов измерений неизвестен, то для обнаружения систематических погрешностей применяют статистический критерий Вилкоксона или критерий Сиджела-Тьюки, подробно описанные в МИ 2091–90.

При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Это может быть достигнуто следующими путями:

– устранением источников погрешности до начала измерений;

– устранением источников погрешности в процессе измерений;

– определением поправок и внесением их в результат измерений;

– оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.

Устранение источников погрешностей до начала измерений (профилактика погрешностей) является наиболее рациональным. Профилактика погрешностей включает:

– применение исправных, стабильных и помехоустойчивых средств измерений;

– выявление теоретических погрешностей метода или средств измерений и их исключение или учет до начала измерений;

– стабилизацию условий измерений и защиту от нежелательных воздействий влияющих величин (и физических полей) на средства и объекты измерений; строгое соблюдение правил использования средств измерений и методик их выполнения;

– обучение операторов и контроль их квалификации.

Методы исключения (компенсации) погрешностей в процессе измерений достаточно разнообразны и включают такие частные случаи, как:

– компенсация погрешности по знаку;

– измерение четное число раз через полупериоды,

– использование метода замещения;

– устранение влияния вариации;

– исключение погрешности от мертвого хода;

– измерение одной величины несколькими методами, несколькими средствами измерений;

– автоматическая поднастройка или коррекция «нуля» после выполнения серии измерений;

– применение автоматических компенсаторов для учета воздействия на средство измерения влияющих величин и ряд других.

Наиболее распространенный способ исключения систематической погрешности – способ замещения, суть которого заключается в том, что измеряемый объект заменяют известной мерой, находящейся в тех же условиях. Этот метод используют, например, при взвешивании груза на равноплечих весах для устранения неравноплечности весов. Груз уравновешивают любой тарой, затем снимают и замещают набором гирь, при этом сохраняется равновесие коромысла.

Метод компенсации по знаку (метод изменения знака систематической погрешности) состоит в том, что измерения проводят дважды так, чтобы погрешность входила в результаты с противоположными знаками. Исключается она при вычислении среднего значения

, (52)

где – среднее арифметическое значение измеряемой величины; , – результаты измерений; – действительное значение измеряемой величины; – систематическая погрешность.

Примером использования этого метода может служить исключение влияния магнитного поля Земли. Первое измерение проводят, когда средства измерений находятся в любом положении. При проведении второго измерения поворачивают средство измерения на 180^о. Если в первом случае магнитное поле будет вызывать положительную погрешность, а во втором – отрицательную, то среднее арифметическое двух результатов не будет содержать погрешности из-за влияния магнитного поля.

Метод поверки средства измерения в рабочих условиях основан на «самоповерке» СИ по точной мере или набору мер в перерывах между измерениями. Наиболее эффективным такой метод будет при автоматическом переключении на измерение меры (мер) и автоматическом внесении поправки в результаты последующих измерений или автоматической поднастройке СИ. Поскольку предусмотрено определение значения погрешности «в рабочих условиях», и в ограниченном числе точек, строгое соответствие такого метода поверке СИ не гарантировано. Такой метод, скорее, следует рассматривать как автоматизированную поднастройку СИ или автоматизированный метод получения поправки и внесения ее в результаты измерений. С точки зрения общих методов выявления погрешностей он базируется на измерении точной меры.

Способ симметричных наблюдений заключается в том, что в течение некоторого времени выполняются несколько измерений одной и той же величины постоянного размера и за окончательный результат принимается полусумма отдельных результатов, симметричных во времени относительно середины интервала. Этот способ применяется для устранения прогрессирующей погрешности (от постоянного прогрева аппаратуры, падения напряжения в цепи питания, вызванного разрядом аккумулятора). Например, было проведено пять измерений, начатых в момент времени , когда погрешность имела значение . Очевидно, что .

Способ противопоставления заключается в том, что измерения проводят два раза так, чтобы причина, вызывающая погрешность, при первом измерении оказала противоположное действие на результат второго. Например, при взвешивании на равноплечих весах с целью устранения неравноплечности необходимо произвести два измерения. При проведении второго следует груз и гири поменять местами. За результат принимают среднее арифметическое двух измерений.

Метод рондомизации. Суть в том, что одна и та же величина измеряется разными методами (приборами). При увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно исключаются.

Метод вспомогательных измерений (измерений влияющих величин, выходящих за нормальные области значений) используется для определения значений поправок, компенсирующих погрешности из-за воздействия влияющих физических величин. Для учета такого воздействия на результаты измерений (для определения значений поправок) необходимо знать не только значения аргументов, которые получают с помощью «вспомогательных измерений», но и функции влияния на результаты измерений влияющих физических величин.

Если измерения не удалось организовать так, чтобы исключить или скомпенсировать какой-либо фактор, то в результат для компенсации действия определенной составляющей погрешности вводится поправка С. Поправка – это величина, одноименная измеряемой, которая вводится в результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности. Поправка по числовому значению равна систематической погрешности и противоположна ей по знаку. В результат может вводиться несколько поправок. Введение их в процессе измерений или после является весьма эффективным методом исключения систематических погрешностей. Для его реализации необходимо предварительно выявить и оценить погрешность, которая при изменении знака на противоположный и будет использоваться в качестве поправки.

Систематические погрешности, остающиеся после введения поправок на ее наиболее существенные составляющие, называются неисключенными остатками систематических погрешностей (НСП).

В этом случае ограничиваются оценкой границ возможных систематических погрешностей. Границы вычисляют в предположении, что НСП представлена в виде суммы элементарных составляющих, для которых заданы границы, , . Арифметическая граница НСП является надежной, но обычно завышена

. (53)

Доверительная граница НСП оценивается в предположении о равномерном распределении НСП в заданных границах. Доверительная граница равна:

, (54)

где . При доверительной вероятности Р = 0,95 и числе составляющих , ; при , .