2.4. Интервальные оценки

Если статистическая оценка параметров закона распределения случайной величины Х характеризуется двумя числами – концами интервала, то такая оценка называется интервальной.

Интервал, в который попадает оцениваемый параметр с заданной надёжностью (вероятностью), называется доверительной. Доверительный интервал применяется в случае сравнительно-небольшого объёма выборки, когда предполагается, что надёжность точечной оценки может быть невысокой. Доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины Х с заданной надёжностью в случае нормального закона распределения определяется на основе неравенств в

-z _x / + z _x / ,

где z – значение аргумента функции Лапласа, получаемое из таблиц (см. Приложение 2), с учётом того, что Ф(z) = /2; - известное среднее квадратическое отклонение или его оценка; n – объём выборки. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения случайной величины Х с надёжностью для нормального закона распределения случайной величины находится из неравенств

где s – несмещённое значение выборочного среднего квадратического отклонения; q – параметр, который находится по таблице (см. Приложение 3) на основе известного значения объёма выборки n и заданной надёжности оценки .

Задача. Найти доверительный интервал с надёжностью 0,95 для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины Х, если известны её среднее квадратическое отклонение = 4, выборочная средняя _в = 16 и объём выборки n = 16.

Решение: По надёжности = 0,95 из соотношения Ф(z) = /2 находим значение функции Лапласа:

Ф(z) = 0,475. По таблице значений функции Лапласа (см. Приложение 2) находим z = 1,96. Используя неравенства для интервальной оценки математического ожидания, получаем

16 – 1,96 * 4/4 M_x 4/4 или 14,04 _{х .}

Самостоятельная работа.

1. Найти доверительный интервал с надёжностью 0,8 для оценки математического ожидания нормально распределённой величины Х со средним квадратическим отклонением = 5, выборочной средней = 20 и объёмом выборки n = 25.

2. На овцеводческой форме из стада произведена выборка для взвешивания 36 овец. Их средний веч оказался равным 50 кг. Предположив распределение веса нормальным и определив несмещённую оценку выборочной дисперсии = 16, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью а) 0,8; б) 0,9; в) 0,95.

3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объёмом n = 16 и найдена выборочная средняя, равная 30. Получено также несмещённое значение выборочной дисперсии s² = 9. Предположив распределение случайной величины Х нормальным, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью а) 0,8 и б) 0,9.

Задача: По данным выборки объёма n =25 найдено несмещённое значение выборочного среднего квадратического отклонения s = 3 нормально распределённой случайной величины Х. Найти с надёжностью 0,99 доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения случайной величины.

Решение: На основании данных значений (см. Приложение 3) находим значение q = 0,49. Подставляем в неравенства

, откуда 2,01 5,88.

4. По данным выборки объёма n=20 найдено несмещённое значение выборочного среднего квадратического отклонения s=2 нормально распределённой случайной величины Х. Найти с надёжностью 0,95 доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения случайной величины.

5. В нескольких мелких магазинах проведена проверка качества 100 изделий, после чего осуществлена обработка полученных данных. В результате получено несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения s = 4. Считая распределения качественных изделий нормальным, найти с надёжностью 0,95 доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения.

6. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице

xi	3	5	7	8	10	12	14
ni	3	7	4	6	7	5	8

Найти с надёжностью 0,97 доверительный интервал для оценки математического ожидания и с надёжность 0,95 – для оценки среднего квадратического отклонения.

7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлена в таблице:

xi	1	3	5	7	9
ni	2	5	4	6	3

Найти с надёжностью 0,95 доверительный интервал для оценки математического ожидания и с надёжность 0,99 – для оценки среднего квадратичного отклонения.