2.3. Метод наибольшего правдоподобия

Метод наибольшего правдоподобия, применяемый для определения точечной оценки, опирается на использование условий экстремума функций одной или нескольких случайных величин. В качестве такой функции принимают функцию правдоподобия. Для дискретной случайной величины функция правдоподобия принимает вид L = p(x₁ , , где х₁ , х₂ , … х_n - варианты выборки, P(x _i , зависящая от параметра . Для непрерывных случайных величин функция правдоподобия выбирается в виде

L=f(x₁, x₂, x_n, где,

f(x_i, x_i . Метод наибольшего правдоподобия используется при биноминальном, пуассоновском и показательном распределениях случайной величины. В случае биноминального распределения

P_r(m) = C_r^m (1-p)^r-m , где P_r(m) – вероятность появления ровно m раз события А (случайная величина) в r испытаниях; р – вероятность появления события А в одном испытании.

P_r(x_i, p) = C_r^xip^xi (1-p)^r-xi .

Функция правдоподобия имеет вид L = p_r(x_i ,p) p_r(x₂, p) … p_r(x_n, p) .

После логарифмирования и приравнивания к нулю производной от In L получаем выражение для оценки. p^*= _I /(nr) . Если значения встречаются раз, то оценка параметра р принимает вид p* = n_i / (nr), где n = n₁ + n₂ + … +n_r – число опытов по r испытаний в каждом.

В случае пуассоновского распределения P_r(m) = и подстановки и выборки получаем P_r(x_i, ) = . Составим функцию правдоподобия L, дифференцируя In L и приравнивая его производную к нулю, находим оценку параметра λ в виде ^{* =} /n = _в или ^{* =} x_i/n = _в . В случае показательного распределения F(x) = (x≥0) функция правдоподобия для выборочных значений x₁, x₂, …, x_n примет вид

L = … = . После преобразований получаем выражение для оценки параметров λ: * = n/ = 1/ _в .

Самостоятельная работа.

1. Случайная величина Х распределена по биноминальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице:

xi	0	1	2	3	4	5	6	7
ni	2	3	10	22	26	20	12	5

Найти точечную оценку параметра р указанного закона распределения случайной величины (r = 10).

2. Случайная величина Х распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром . Статистическое распределение выборки представлено в таблице:

хi	0	1	2	3	4	5	6	7
ni	199	169	87	31	9	3	1	1

Найти точечную оценку параметра .

3. Случайная величина Х распределена по показательному закону. Статистическое распределение выборки представлена в таблице:

xi	5	15	25	35	45	55	65
ni	365	245	150	100	70	45	25

Найти точечную оценку параметра .

4. Стеклянные однородные изделия отправлены для реализации из Москвы в Новосибирск в 1000 контейнерах. После поступления товара было выявлено количество разбитых изделий в каждом контейнере. Результаты представлены в таблице:

xi	0	1	2	3	4
ni	785	163	32	16	4

Считая, что число разбитых изделий описывается законом Пуассона, найти точечную оценку параметра .