2.2. Метод моментов

При заданном виде закона распределения случайной величины X неизвестные параметры этого распределения можно оценить, т.е. выразить как функцию вариант выборки, на основе метода моментов. Для оценки двух параметров закона распределения запишем следующие равенства: v₁=M₁, µ₂=m₂, где v₁-начальный момент первого порядка закона распределения случайной величины; M₁-эмпирический момент первого порядка; µ₂-центральный момент второго порядка закона распределения случайной величины; m₂-центральный эмпирический момент второго порядка. Так как v_1
=М_х– математическое ожидание случайной величины Х, _{2
=}D_х- дисперсия величины Х, а М₁ = _в, m₂ = d_в, то получаем два уравнения: М_х = _в , D_х = d_в.

Задача. На предприятии изготавливается определённый вид продукции. Ежемесячный объём этой продукции является случайной величиной, для характеристики которой принят показательный закон распределения f(х) = λ_е^- (х 0).В течение шести месяцев проводился замер объёмов выпуска продукции, получены следующие данные:

Месяц	1	2	3	4	5	6
Объём выпуска	20	24	25	28	27	32

Найти оценку параметра λ.

Решение: Так как закон распределения содержит лишь один параметр λ, то для его оценки требуется составить одно уравнение. Находим выборочную среднюю:

_в = (20+24+25+28+27+32)/6 = 6. Определяем математическое ожидание:

М_х = ^- dx. Интегрируя по частям, получаем М_х = 1/ λ , откуда 1/ λ = _в.Равенство является приближённым, так как правая часть его является случайной величиной. Таким образом, из уравнения получается не точное значение λ, а его оценка λ*:1/ λ^* = _в. Итак, 1/ λ^* = 26, откуда λ^* = 1/26.