Тема 2.1. Оценки параметров распределений.

Оценки параметров генеральной совокупности полученные на основании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К числу таких оценок относятся выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений: _в= _ix_i/n_i где x_i-варианта выборки; n_i - частота выборки; n-объем выборки;

Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней: d_в = _i(x_i- _в)²

Для расчетов может быть использована также формула d_в= ²- _в)²/n, где ²- выборочная средняя квадратов вариант выборки. Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной ,если не равно –то смещенной. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выборочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной совокупности и является смещенной оценкой. Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на величину n/(n-1) и получают S²= d_в. Величину s² называют несмещенной или «исправленной» выборочной дисперсией. В некоторых случаях для удобства расчетов при определении статистических оценок переходят к условным вариантам . Например ,если варианты x_i –большие числа ,то используют разности U_i=x_i-C, где С- произвольно выбранное число (ложный нуль) , такое, при котором условные варианты принимают небольшие значения . В этом случае

_в= С + _iu_i/n, d_в= ²- _в)², d_в= d_вu= ²- )²= _i /n-( _iu_i/n)².

Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путем использования масштабного множителя : u_i = Cx_{i ,}где С =10^b

(b выбирается положительным или отрицательным целым числом).

Самостоятельная работа.

1. Из генеральной совокупности

xi	1	3	7	12
ni	8	16	6	10

Найти выборочную среднюю.

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка

xi	-8	-2	1	5
ni	13	11	14	12

xi	2430	2460	2500
ni	24	14	12

Найти выборочную среднюю.

Задача. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:

xi	1450	1480	1490
ni	3	5	2

Решение: Так как выборочные значения – большие числа ,то целесообразно ввести условные варианты. В качестве ложного нуля выбираем С=1470 и рассчитываем u_i по формуле u_i= x_i-1470:

ui	-20	10	20
ni	3	5	2

Определяем выборочную среднюю: =3. После этого находим _в=1470+3=1473

3. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:

xi	3140	3150	3180
ni	12	6	12

Задача. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины Х на основании данного распределения выборки:

xi	2	7	9	10
ni	8	14	10	18

Решение: Находим выборочную среднюю _в= =7,68

Для вычисления выборочной дисперсии используем формулу d_в= ²-( _в)²:

²= =66,56 d_в=66,56-7,68²=7,58. Находим несмещенную оценку дисперсию (исправленную выборочную дисперсию): s²= d_в=50*7,58/49=7,73.

4. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины Х на основании данного распределения выборки:

xi	1	5	6	8
ni	6	4	7	3

Задача. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

xi	0,02	0,05	0,08
ni	3	2	5

Решение: В целях упрощения расчетов целесообразно перейти к условным вариантам u_i=100 x_i:

ui	2	5	8
ni	3	2	5

Найдем выборочную дисперсию условных вариант:

d_вu= _i /n-( _iu_i/n)²= -( )²=6,84. Выборочная дисперсия данного распределения вариант x_i находится на основе выражения

d_в= d_вu/100²=6,84/100² ≈ 7*10^-4

5. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

xi	0,002	0,005	0,006
ni	9	6	5

d_в = 3,09·10^-6.

6. Выручка в магазине от продажи обуви составила соответственно по месяцам следующие значения (млн.руб.):

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P	0,2	0,5	0,4	0,2	0,4	0,5	0,2	0,2	0,4	0,5	0,4	0,2

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию. d_в = 0,0169.