Самостоятельная работа.
1. На фирме работает 39 человек. Проведено исследование числа рабочих дней, пропущенных каждым работником фирмы в течение месяца. Результаты этого исследования таковы: 0, 1, 3, 0, 2, 3, 5, 7, 3, 5, 2, 10, 7, 5, 0, 2, 5, 10, 5, 3, 1, 9, 15, 10, 1, 0, 2, 3, 5, 7, 7, 6, 5, 3, 0, 7, 10, 13, 0. Составить интервальный вариационный ряд. Построить функцию распределения случайной величины числа пропущенных рабочих дней.
xi < X≤ xi+1 |
0-3 |
3-7 |
7-11 |
11-15 |
mi |
19 |
13 |
5 |
2 |
pi* |
0,487 |
0,333 |
0,128 |
0,052 |
F*(x)
=
2. Найти эмпирическую функцию распределения по данным вариационным рядам:
1 |
1 |
3 |
7 |
9 |
12 |
m |
2 |
10 |
4 |
24 |
10 |
|
-2 |
0 |
5 |
8 |
14 |
m |
3 |
17 |
28 |
22 |
10 |
б)
а)
F*(x)
=
б)
F*(x)
=
3. Найти эмпирическую функцию распределения по данным интервальным вариационным рядам:
а )
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
xi<X≤ xi+1 |
0-2 |
2-4 |
4-6 |
6-8 |
8-10 |
10-12 |
12-14 |
14-16 |
16-18 |
mi |
6 |
4 |
2 |
18 |
29 |
11 |
10 |
17 |
3 |
б)
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
xi<X≤ xi+1 |
11-14 |
14-17 |
17-20 |
20-23 |
23-26 |
26-29 |
29-32 |
32-35 |
mi |
16 |
24 |
30 |
7 |
8 |
6 |
5 |
4 |
а)
F*(x)
=
б)
F*(x)
=
1.3. Полигон и гистограмма
Наблюденные данные, представленные в виде вариационного ряда, можно изобразить графически.
Полигон. Если вариационный ряд дискретной случайной величины
xi |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
mi |
m1 |
m2 |
m3 |
… |
mn |
Представить графически в виде ломаной линии, связывающей на плоскости точки с координатами (xi, mi ), то такой график называют полигоном или многоугольником распределения. Можно также построить полигон, где точками являются пары чисел (xi , ) .
Задача. Выборка дана в виде распределения частот:
xi |
2 |
5 |
7 |
8 |
11 |
13 |
mi |
10 |
9 |
21 |
25 |
30 |
5 |
Найти распределение относительных частот и построить полигон относительных частот.
Решение.
Оценим объем выборки:
i=100.
Тогда вариационный ряд можно записать
в виде:
|
2 |
5 |
7 |
8 |
11 |
13 |
|
0,10 |
0,09 |
0,21 |
0,25 |
0,30 |
0,05 |
На рис. 3. приведен полигон относительных частот.
Рис. 3. Заметим, что полигон, построенный по дискретному вариационному ряду, является выборочным аналогом многоугольника распределения дискретной случайной величины.
Гистограмма. Интервальный вариационный ряд графически изображают с помощью гистограммы. Для ее построения в прямоугольной системе координат на оси откладывают отрезки частичных интервалов варьирования и на этих отрезках как на основаниях строят прямоугольники с высотами, равными частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.
Если
относительную частоту разделить на
длину каждого интервала, то полученная
величина будет представлять собой
выборочную
оценку
плотности
вероятности: f*
/∆i*
Задача. Выборка задана интервальным вариационным рядом
-
< ≤ i+1
m
1
1-5
10
2
5-9
20
3
9-13
50
4
13-17
12
5
17-21
8
Построить гистограмму выборочной оценки плотности вероятности.
Решение. Длина каждого интервала равна h=4. Объем выборки n=100. Подсчитаем значения m /(hn):
< ≤ i+1 |
1-5 |
5-9 |
9-13 |
13-17 |
17-21 |
m /(hn) |
25*10-3 |
50*10-3 |
125*10-3 |
30*10-3 |
20*10-3 |
На рис. 4 представлена гистограмма данного распределения.
Рис. 4. Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяют получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.