Самостоятельная работа.

1. На основании полученных измерений величин X и Y

X	4	6	8	10	12
Y	5	8	7	9	14

найти линейную регрессию Y на X и выборочный коэффициент корреляции.

2. На основании полученных по результатам измерений значений величин X и Y

X	3	5	7	9	10	12
Y	14	10	9	9	6	5

найти линейную регрессию X на Y и выборочный коэффициент корреляции.

3. В магазине постельных принадлежностей были проведены в течение пяти дней подсчеты числа покупок простыней X и подушек Y:

X	10	20	25	28	30
Y	5	8	7	12	14

(В данной таблице значения Х расставлены в возрастающем порядке.) Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х и выборочной коэффициент корреляции.

5.1. Линейная регрессия со сгруппированными данными

В том случае, когда варианты парной выборки встречаются по несколько раз, причем с одним значением варианты может встретиться несколько вариант , их обычно представляют в виде корреляционной таблицы. На пересечении строк и столбцов этой таблицы отмечается частота выбора соответствующей пары ( , ), а частота вариант (i = 1, 2,..., ), (i = 1, 2,..., ) находятся как суммы значений по соответствующей строке или столбцу. Например, в корреляционной таблице

	10	20	30
5	3	-	2	5
10	5	4	2	11
	8	4	4	n = 16

Пара (10;5) встречается 3 раза, т.е. = 3, а частота появления величины = 5 находится как сумма = 3 + 2 = 5.

Очевидно, что

Для коэффициента корреляции случайных величин X и Y в случае сгруппированных данных используется выражение

r =

где

Ũ = Ṽ = .

После расчета , , , и получают выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в виде или выборочное уравнение линейной регрессии Х на Y в виде . Для упрощения расчетов часто используются условные варианты, которые подсчитываются по формулам , , где С , С - ложные нули (выбираемые значения); , - разности между соседними значениями Х и Y.Соответственно, для обратного перехода применяются выражения

где - средние значения условных вариант;

- средние квадратичные отклонения условных вариант.

Для подсчета выборочного коэффициента корреляции в этом случае используется формула

,

,

Подсчитав выборочный коэффициент корреляции через условные варианты и осуществив переход к условным переменным, получают соответствующие уравнения регрессии.

Задача. Найти выборочное уравнение линейной регрессии Х на Y на основании корреляционной таблицы

	15	20	25	30	35	40
100	2	1	-	7	-	-
120	4	-	2	-	-	3
140	-	5	-	10	5	2
160	-	-	3	1	2	3

Решение: Для упрощения расчетов введем условные варианты

,

И составим преобразованную корреляционную таблицы с условными вариантами, в которую внесем значения и :

	-3	-2	-1	0	1	2
-1	2	1	-	7	-	-	10
0	4	-	2	-	-	3	9
1	-	5	-	10	5	2	22
2	-	-	3	1	2	3	9
	6	6	5	18	7	8	n=50

Затем составим новую таблицу, в которую внесем посчитанные значения в правый верхний угол заполненной клетки и в левый нижний угол, после чего суммируем верхние значения по строкам для получения значений и нижние значения по столбцам для и подсчитаем величины и (табл. 5.1).

Таблица 5.1

	-3	-2	-1	0	1	2
-1	-6 2 -2	-2 1 -1	—	0 7 -7	—	—	-8	8
0	-12 4 0	—	-2 2 0	—	—	6 3 0	-8	0
1	—	-10 5 5	—	0 10 10	5 5 5	4 2 2	-1	-1
2	—	—	-3 3 6	0 1 2	2 2 4	6 3 6	5	10
	-2	4	6	5	9	8	—	Σ = 17
	6	-8	-6	0	9	16	Σ =17	—

Подсчитываем суммы и . Параллельный подсчет этих сумм осуществляется для контроля правильности расчета. В данном случае . Находим , : = (−3 · 6 − 2 · 6 – 1 · 5 + 1 · 7 + 2 · 8) / 50= 0,24; (−1 · 10 + 1 · 22 + 4 · 9) / 50 = 0,6.

Находим , : = (9 · 6 + 4 · 6 + 1 · 5 + 1· 7 + 4 · 8)/ 50 = 2,44;

= (1 · 10 + 1· 22 + 4 · 9)/ 50 = 1,36 .

Определяем , : = = = 1,54; = = 1. Вычисляем выборочный коэффициент корреляции :

Осуществим переход к исходным вариантам :

= + = 5· (-0,24) +30 = 28,8 ,

= = 20 · 0,6 +120 = 132 ,

=

=

Находим уравнение регрессии X на Y :

– 28,8 = (y − 132) или