5.Сравнение двух математических ожиданий

Пусть имеются две выборки , ,…, и , ,…, , полученные в результате независимых испытаний. По этим данным рассчитаны оценки и y, а также и . В предположении, что случайные величины X и Y распределены по нормальному закону Х = N ( , ) и Y = N ( , ), требуется проверить на основании выборочных данных гипотезу : = при условии, что гипотеза о равенстве дисперсий не отвергается.

Задача 1. Средний ежедневный объем продаж за 1 квартал текущего года для 17 торговцев района А составляет 15 тыс. руб., а для 10 торговцев района В – 13 тыс. руб. при «исправленном» среднем квадратичном отклонении 3 тыс. руб. Каждую группу можно считать случайной независимой выборки из большой совокупности. Существенно ли различие объемов продаж в районах А и В при 5%-м уровни значимости?

Решение: Предположим, что ежедневный объем продаж подчинен нормальному закону распределения. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение законов распределения районов А и В неизвестны. Предположим, что дисперсии объемов продаж одинаковы. В этих условиях возникает задача оценки статистической гипотезы : = при альтернативной : , если принять за математическое ожидание объема продаж для района А, за - для района В. Выборочные средние и y являются независимыми нормально распределенными случайными величинами. В этом случае в качестве критерия используют функцию

Т= , где S =

Функция Т починена t- распределению для l = m + n – 2 степеней свободы.

По таблице t- распределения (см. Приложение 6) для l = 17 + 10 – 2 = 25 и 5%-го уровня значимости (для двусторонней критической области) находим = 2,06. Это значит, что критическая область есть интервал(- ; -2,06) и (2,06; . Вычислим : = = = 2,69, t_r = = 1,86. Полученное значение критерия не принадлежит критической области, следовательно, разность несущественна и гипотеза : = принимается. В качестве общей средней выборочной принимают величину

= = 14

Задача . В условиях задачи (1) выяснить, существенно ли при 5%-м уровне значимости превышение объема продаж в районе А по сравнению с объемом в районе В.

Решение: Вопрос в данной задаче отличается от вопроса в задаче 25.15 тем, что альтернативной к гипотезе : = становится не гипотеза : , а гипотеза : > . В этом случае критическая область односторонняя (в частности, правосторонняя), для = 25 и = 0,05 имеем критическую область (1,708; ). Так как = 1,86> 1.708 , то величина входит в критическую область, поэтому превышение объема продаж в районе А по сравнению с объемом в районе В существенно и гипотеза : = отвергается.

Самостоятельная работа.

1. Акционерное общество (АО) выпускает печенье «Русские узоры» в пачках, на которых написано: масса нетто 200 г. Осуществлена выборка для оценки средней массы печенья в пачках, выпущенных московской и Санкт - Петербургской фабриками АО. Результаты выборок таковы (указана масса пачек печенья «Русские узоры»):

Московская фабрика

201, 195, 197, 199, 202, 198, 199, 203, 195, 196, 198, 199, 194, 203, 195, 202, 197

Санкт-петербургская фабрика

203, 207, 191, 193, 197, 201, 196, 192, 194, 195, 198, 196

Предполагая, что случайная величина массы пачки печенья распределена по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями, и считая выборки независимыми, определить:

а) средние выборочные и «исправленные» средние квадратичные отклонения массы для каждой фабрики;

б) для = 0,05 значимо или различие между средними выборочными ( если это различие имеется);

в) является ли величина 200 г математическим ожиданием массы при 5%-м уровне значимости?

2. Расход сырья на единицу продукции составил:

По старой технологии

Расход сырья		305	307	308
Число изделий		1	4	4

По новой технологии

расход сырь		303	304	305	308
Число изд.		2	6	4	1

Предположив, что существующие случайные величины Х и У имеют нормальные распределения с математическими ожиданиями и и одинаковыми дисперсиями, проверить:

А) при уровне значимости 0,1 гипотезу : при альтернативной : ;

Б) при уровне значимости 0,05 гипотезу : при альтернативной : .

3. Производительность каждого из агрегатов А и В составила (в кг вещества за час работы):

Номер замера	1	2	3	4	5
Агрегат А	14,1	13,1	14,7	13,7	14,0
Агрегат В	14,0	14,5	13,7	12,7	14,1

Можно ли считать производительность агрегатов А и В одинаковой в предположении, что обе выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей, при уровне значимости = 0,1?

Задача. Фирма предлагает автоматы по розливу напитков. При выборке n=16 найдены средняя величина = 182 г дозы, наливаемой в стакан автоматом № 1. По выборке m = 9 найдена средняя величина y = 185 г дозы, наливаемой в стакан автоматом №2. По утверждению изготовителя, случайная величина наливаемой дозы имеет нормальный закон распределения с дисперсией, равной = 25 . Можно ли считать отличия выборочных средних случайной ошибкой при уровне значимости = 0,01?

Решение. Пусть и - математическое ожидание доз, наливаемых автоматом №1 и автоматом №2. Нулевая гипотеза в данном случае

: при альтернативных : и : . Дисперсия известна = 25. В качестве критерия справедливости статистической гипотезы выбирается функция Z =

Распределенная по нормальному закону с параметрами (0,1).

1. Рассмотрим вначале гипотезу : для альтернативной : . В этом случае критическая область имеет вид (- ; ), где определяется из условия P(Z < ) = .

Так как функция Лапласа – нечетная функция, т.е. Ф(-z) = - Ф(z), а таблица этой функции содержит только положительные значения, то найдем вначале .Для этого вычислим значение функции Лапласа в критической точке: Ф( )= 0,5 – = 0,49. Откуда = 2,33. Значит, левосторонняя критическая область будет (- ; -2,33).

Рассчитаем : z_{r = = = -1,44}

Полученное значение = -1,44 не входит в критическую область (- ; -2,33), поэтому нулевая гипотеза принимается.

2. Рассмотрим значение : при альтернативной : . В этом случае критическая область двусторонняя и имеет вид (- ; ) ( ; . Величины и рассчитываются из условий

P(Z < ) = /2 и P(Z > ) = /2.

Воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа (см.Приложение 2), имеем

Ф( ) = 0,5 - /2 = 0,495, и = 2,57. Критическая область имеет вид (- ;-2,57) ( ; . Значение = -1.44 не попадает в критическую область, поэтому нулевая гипотеза принимается.

4. В таблице приведены результаты измерения процентного содержания крахмала в картофеле

( исследовали 16 клубней различных сортов картофеля) двумя различными способами:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	11	9	13	8	6	7	6	12	10	11	14	12	7	5	15	11
2	13	9	13	9	8	9	9	9	11	13	11	12	6	6	13	12

При уровне значимости 0,1 можно ли считать, что крахмалистость картофеля одна и та же для обоих способов?

5. Используются два вида удобрений: 1 и 2 . Для сравнения их эффективности были попарно выбраны 20 участков равной площади так, что пару составили участники, однородные по плодородию. Десять участков были отобраны удобрением 1,

А десять, парных им, - удобрений 2.На соответствующих парах участков получили следующий урожай:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	8,0	8,4	8,0	6,4	8,6	7,7	7,7	5,6	5,6	6,2
2	5,6	7,4	7,3	6,4	7,5	6,1	6,6	6,0	5,5	5,0

При уровне значимости 5% проверить гипотезу о различном влиянии использования удобрения 1 и 2.