4. Сравнение двух дисперсий
Пусть
имеются две случайные величины Х
= N(
,
)
и Y
= N(
)
с
неизвестными дисперсиями и две независимые
выборки
,
,…,
и
,
,…,
.
Требуется по полученным выборочным
оценкам
и
,
где
=
и y
=
, Проверить гипотезу
=
.
В
качестве критерия при проверке гипотезы
=
используют функцию F(
,
)
=
/
Которая имеет F- распределение (распределение Фишера – Снедекора)
с = n – 1 и = m – 1 степенями свободы, если полученные по выборкам значения > , и F( , ) = / = m – 1, = n – 1, > .
Если
задаться уровнем значимости
,
то можно построить критические области
для проверки гипотезы
/
=
при двух альтернативных гипотезах:
:
>
, если
>
, или
:
<
,
если
<
.
случае
критическая область правосторонняя
(
,
),
определяется из условия P(F(
)
>
)
=
;
:
.
В этом случае критическая
область двусторонняя. Однако можно
использовать только правостороннюю
область (
,
),
где
определяется из условия P(F(
n-1,
= m-1) >
)
=
/2,
если
>
, и из условия P(F(
n-1,
= m-1) >
)
=
/2,
если
<
.
Если
попадает в критическую область, то
принимается альтернативная гипотеза
, в противном случае принимается гипотеза
:
=
;
при
этом оценкой генеральной дисперсии
служит величина
=
Задача. Срок хранения продукции, изготовленной по технологии А, составил:
-
Срок хранения
5
6
7
Число единиц продукции
2
4
4
А изготовленной по технологии В:
-
Ср.хранения
5
6
7
8
Ч.ед.продук.
1
8
7
1
Предположив,
что случайные величины X
и Y
распределены по нормальному закону,
проверить гипотезу
:
при
уровне значимости 0,1 и альтернативной
гипотезе
:
.
Решение: Вычислим «исправленные» выборочные дисперсии , . Для этого вначале найдем , y:
=
= 6,2 ; y
=
= 6.5.
Тогда
,
=
=
0,62;
=
= 0,11.
Учитывая,
что
>
, определим
:
=
= 5,64.
Критическое значение находим из условия
P(F( = 10 – 1, = 17 – 1) > ) = / 2 = 0,05
По таблице F- распределения (см. Приложение 5) определим = 2,54.
Так
как число
5.64
попадает в критическую область (2,54;
),
то гипотезу о равенстве дисперсии
среднего срока хранения продукции,
изготовленной по технологиям А и В,
отвергаем.
Самостоятельная работа.
Температура в холодильной камере контролируется по двум электронным термометрам. Для сравнения точности термометров их показания фиксируются одновременно. Проведено 10 замеров показаний термометров
-
Номер замера
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Термометр 1
-7,11
-8,63
-6,89
-7,23
-7,51
-7,68
-7,91
-6,97
-7,44
-7,64
Термометр 2
-7,13
-8,49
-7,12
-7,19
-7,67
-7,49
-7,49
-7,15
-7,29
-7,89
При уровне значимости 0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий.
На двух станках производят одну и ту же продукции, контролируемую по наружному диаметру изделия. Из продукции станка А было проверено 16 изделий, а из продукции станка В – 25 изделий. Выборочные оценки математических ожиданий и дисперсий контролируемых размеров составили
= 37,5 мм при
= 1.21
и
= 36,8 мм при
= 1,44
.Проверить
гипотезу о равенстве дисперсий, если
= 0,1.Фирма поставляет радары для измерения скорости движения автомобилей. Для закупки большой партии проведены испытания приборов, изготовленных на заводе А и на воде В. Измерения проводили на одной и той же машине и на одной и той же дороге. Определены величины отклонений между показаниями спидометра автомобиля и радара:
Завод А
Отклонение, км/ч |
|
-0.7 |
-0.3 |
-0.1 |
0.5 |
0.8 |
0.9 |
1.0 |
1.2 |
1.3 |
Число измерений |
|
5 |
4 |
2 |
6 |
3 |
1 |
3 |
1 |
1 |
Завод В
Отклонение, км/ч |
|
-0.6 |
-0.1 |
0.4 |
0.7 |
1.0 |
1.4 |
Число измерений |
|
4 |
5 |
3 |
2 |
2 |
1 |
Полагая показания спидометра автомобиля эталоном, проверить гипотезу об одинаковой точности измерений, проводимых радарами завода А и завода В, при уровне значимости 0,1.